Zwei unendliche, abzählbare Mengen sind gleichmächtig

Neue Frage »

MaPalui Auf diesen Beitrag antworten »
Zwei unendliche, abzählbare Mengen sind gleichmächtig
Hallo ihr Lieben smile

ich habe im Skript folgendes stehen:
" und sind abzählbar, also gleichmächtig, da nicht endlich".

An sich ist die Aussage ja nicht schwer, aber ich wollte wissen, ob ich das Konzept denn wirklich verstanden habe.
Da wir keinen Beweis geführt haben gehe ich von der Tatsache im Titel aus.

Ist es überhaupt "notwendig", dies zu beweisen? Oder ist das eine Definitionssache?
Denn wenn ich einen Beweis führen wollte, käme ich ja nicht um die Definition der (Gleich)mächtigkeit herum.
Dies aber würde auf das in diesem Zusammenhend recht ominöse führen.
Also gehe ich davon aus, dass es nach Definition entsprechend so angenommen wird.

Oder habe ich hier etwas grundlegendes übersehen?

Vielen Dank
Maren
adiutor62 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zwei unendliche, abzählbare Mengen sind gleichmächtig
https://de.wikipedia.org/wiki/Cantors_er...iagonalargument
 
 
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Def: Eine Menge heißt abzählbar unendlich, wenn es eine Bijektion gibt.
Def: Zwei Mengen und sind gleichmächtig, wenn es eine Bijektion gibt.

Sind und zwei abzählbar unendliche Mengen, dann gibt es (per def 1) Bijektionen , also die Bijektion, also die Bijektion. Also sind und (per def 2) gleichmächtig.

Selbstverständlich muss man jede Aussage beweisen, denn nur was man beweisen kann, kann man wissen.
MaPalui Auf diesen Beitrag antworten »

Ich danke euch sehr für eure Antworten. Das hat mir die Frage gelöst, danke! smile

LG
Maren
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Def: Eine Menge heißt abzählbar unendlich, wenn es eine Bijektion gibt.
Def: Zwei Mengen und sind gleichmächtig, wenn es eine Bijektion gibt.

Sind und zwei abzählbar unendliche Mengen, dann gibt es (per def 1) Bijektionen , also die Bijektion, also die Bijektion. Also sind und (per def 2) gleichmächtig.



Dieser Beweis basiert letztlich auf der Transitivität (A -> B, B -> C, dann A -> C). Verständnisfrage: Die Transitivität können wir annehmen, weil sie als Tautologie ein Theorem auch der Mengenlehre ist, richtig?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, es geht nicht um Transitivitaet. Man kann leicht beweisen, dass die Komposition von bijektiven Abbildungen bijektiv ist.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »