Zwei unendliche, abzählbare Mengen sind gleichmächtig

16.09.2019, 16:56

MaPalui

Zwei unendliche, abzählbare Mengen sind gleichmächtig

Hallo ihr Lieben smile

ich habe im Skript folgendes stehen:
" $\begin{eqnarray*} \matbb Z \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ sind abzählbar, also gleichmächtig, da nicht endlich".

An sich ist die Aussage ja nicht schwer, aber ich wollte wissen, ob ich das Konzept denn wirklich verstanden habe.
Da wir keinen Beweis geführt haben gehe ich von der Tatsache im Titel aus.

Ist es überhaupt "notwendig", dies zu beweisen? Oder ist das eine Definitionssache?
Denn wenn ich einen Beweis führen wollte, käme ich ja nicht um die Definition der (Gleich)mächtigkeit herum.
Dies aber würde auf das in diesem Zusammenhend recht ominöse $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ führen.
Also gehe ich davon aus, dass es nach Definition entsprechend so angenommen wird.

Oder habe ich hier etwas grundlegendes übersehen?

Vielen Dank
Maren

16.09.2019, 17:02

adiutor62

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RE: Zwei unendliche, abzählbare Mengen sind gleichmächtig
https://de.wikipedia.org/wiki/Cantors_er...iagonalargument

16.09.2019, 18:40

Elvis

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Def: Eine Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ heißt abzählbar unendlich, wenn es eine Bijektion $\begin{eqnarray*} f:\mathbb N\to M \end{eqnarray*}$ gibt.
Def: Zwei Mengen $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ sind gleichmächtig, wenn es eine Bijektion $\begin{eqnarray*} h:M\to N \end{eqnarray*}$ gibt.

Sind $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ zwei abzählbar unendliche Mengen, dann gibt es (per def 1) Bijektionen $\begin{eqnarray*} f:\mathbb N\to M,g:\mathbb N\to N \end{eqnarray*}$ , also die Bijektion $\begin{eqnarray*} f^{-1}:M\to \mathbb N \end{eqnarray*}$ , also die Bijektion $\begin{eqnarray*} h= g\circ f^{-1}:M\to N \end{eqnarray*}$ . Also sind $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ (per def 2) gleichmächtig.

Selbstverständlich muss man jede Aussage beweisen, denn nur was man beweisen kann, kann man wissen.

18.09.2019, 12:45

MaPalui

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Ich danke euch sehr für eure Antworten. Das hat mir die Frage gelöst, danke! smile

LG
Maren

20.09.2019, 19:37

Pippen

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Zitat:

Original von Elvis
Def: Eine Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ heißt abzählbar unendlich, wenn es eine Bijektion $\begin{eqnarray*} f:\mathbb N\to M \end{eqnarray*}$ gibt.
Def: Zwei Mengen $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ sind gleichmächtig, wenn es eine Bijektion $\begin{eqnarray*} h:M\to N \end{eqnarray*}$ gibt.

Sind $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ zwei abzählbar unendliche Mengen, dann gibt es (per def 1) Bijektionen $\begin{eqnarray*} f:\mathbb N\to M,g:\mathbb N\to N \end{eqnarray*}$ , also die Bijektion $\begin{eqnarray*} f^{-1}:M\to \mathbb N \end{eqnarray*}$ , also die Bijektion $\begin{eqnarray*} h= g\circ f^{-1}:M\to N \end{eqnarray*}$ . Also sind $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ (per def 2) gleichmächtig.

Dieser Beweis basiert letztlich auf der Transitivität (A -> B, B -> C, dann A -> C). Verständnisfrage: Die Transitivität können wir annehmen, weil sie als Tautologie ein Theorem auch der Mengenlehre ist, richtig?

20.09.2019, 21:53

Elvis

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Nein, es geht nicht um Transitivitaet. Man kann leicht beweisen, dass die Komposition von bijektiven Abbildungen bijektiv ist.

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