Ableitung (2x+3)^3x

16.09.2019, 16:59

ONISAGA

Ableitung (2x+3)^3x

Hallo erst einmal vielen Dank für die Hilfe die ich letztens von euch bekommen habe.

Heute stehe ich wieder vor einer Aufgabe, wo ich nicht weiterkomme und die Lösung nicht ganz verstehe. Es geht darum die Aufgabe f(x)=(2x+3)^3x abzuleiten. Jedoch verstehe ich nicht wie man auf die Lösung kommt diese ist anscheinend f1(x)=(2x+3)^3x*(3*ln(2x+3)+3x*2/2x+3)

Meine Lösungsweg ist ein ganz anderer und ich verstehe nicht so ganz wie man darauf kommt.

Hier mein Lösungsweg:

Die Gleichung umstellen auf:

ln(f(x))= ln^3x(2x+3) (darf man überhaupt die ^3x zum ln ziehen

danach die ableitung bilden

d/dx [ln(f(x))] =ln^3x(2x+3)* d/dx [ln(ln(ln(ex+3)))*3x]]

Produktregel anwenden und vereinfachen auf

3ln^3x(2x+3)*(ln(ln(ln(2x+3)))+2x/(2x+3)(ln(ln(2x+3)))*(ln(2x+3)) (das bekomme ich raus nachdem ich die lns abgeleitet habe)

Danach die funktion umstellen also d/dx(ln(f(x) auf 1/f(x)*d/dx (f(x)) und die rechte Seite mal f(x). Nun habe ich mehrere Probleme zuerst einmal deckt sich meine Lösung nicht mit der Lösung und ich verstehe nicht wieso. Andererseits verstehe ich nicht wieso man nicht den dreifachen ln ableiten muss. Denn wir haben ja im Prinzip nix anderes als ln^3x... oder was man da machen und wieso. Außerdem wann wendet man benutzt man soetwas wie ln(ln(ln.....

Kann sich jemand bitte die Zeit nehmen um mir zu helfen.

Vielen Dank und mit freundlichen Grüßen
Onisaga

Ps: eigentlich wollte ich meine Aufzeichnungen hochladen nur kann ich keine Links hochladen und die Bilder waren zu groß unglücklich

16.09.2019, 17:11

Helferlein

Auf diesen Beitrag antworten »

Der Fehler liegt schon im logarithmieren.
Es ist $\begin{eqnarray*} ln(f(x))=ln((2x+3)^{3x}=(3x)\cdot ln(2x+3) \end{eqnarray*}$

16.09.2019, 17:18

ONISAGA

Auf diesen Beitrag antworten »

ja aber das macht doch kein Sinn oder=

Weil z.B

ln(3x^2+4) = 2ln(3x+4) wie kann dann ln(3x+4)^2 dasselbe ergeben. Ich dachte das ergibt dann ln^2(3x+4)

oder wo liegt mein Fehler?

Vielen dank für die schnelle Antwort

16.09.2019, 17:52

Helferlein

Auf diesen Beitrag antworten »

Worauf Du deine erste Gleichung begründen willst ist mir unverständlich. Natürlich kannst Du nicht irgendeine Potenz aus dem Logarithmus ziehen, wenn das Argument eine Summe ist. Das klappt nur, wenn Das gesamte Argument potenziert wird.

Deine zweite Formulierung lässt auf einen Klammerfehler schließen. Du gehst von einem Term des Typs $\begin{eqnarray*} (ln(g(x))^n \end{eqnarray*}$ aus. Tatsächlich hast Du es aber mit $\begin{eqnarray*} ln((g(x))^n) \end{eqnarray*}$ zu tun.

16.09.2019, 18:06

adiutor62

Auf diesen Beitrag antworten »

Es gilt.

f(x)= e^(lnf(x)) --> f(x) = e^(3x*ln(2x+3))

Produkt - und Kettenregel anwenden.

e^(f(x)) wird abgeleitet zu e^(f(x)) * f '(x)

16.09.2019, 19:36

ONISAGA

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo vielen Dank für eure Antworten, nun habt Ihr mir alles sehr deutlich erklärt, dadurch konnte ich die Aufgabe schnell lösen.

Nur habe ich noch eine kleine Frage

Ich habe die Aufgabe nun so gelöst und dabei sind neue Fragen aufgetaucht.

f(x)=(2x^3x+3)

f1(x)= 2*d/dx [x^3x]+ d/dx [3]

1/x^3x*f1(x)= 2*d/dx [ln(x^3x)]

Hätte ich die 2 nicht rausgezogen müsste doch ln(2x^3x) stehen oder irre ich mich, weil dann müsste ich auf der anderen Seite doch auch 1/2x^3x stehen haben? Weil dass ist der einzige Teil der Rechnung welcher mich verwirrt hat. Ode wäre das nur der falls (2x)^3x stehen würde und was müsste man machen falls man die 2 nicht rauszieht?

Mit freundlichen Grüßen

16.09.2019, 19:57

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Klammersetzung Glückssache?
Geschrieben hast du f(x)=(2x^3x+3) = $\begin{eqnarray*} \left(2x^3x+3\right) \end{eqnarray*}$ . Irgenwie ziemlich sinnlos, das so zu schreiben statt gleich $\begin{eqnarray*} f(x)=2x^4+3 \end{eqnarray*}$ . Womöglich meinst du ja stattdessen aber f(x)=2x^(3x+3) = $\begin{eqnarray*} 2x^{3x+3} \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

16.09.2019, 20:26

ONISAGA

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Klammersetzung Glückssache?
Sorry, ich meinte (2x^(3x)+3)

16.09.2019, 23:28

Helferlein

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann ist das aber doch fast dieselbe Aufgabe wie oben, nur dass überall wo dort 2x+3 steht jetzt 2x stehen muss. Die 3 fällt doch beim Ableiten weg.
Wozu dann der Aufwand? verwirrt

17.09.2019, 12:35

ONISAGA

Auf diesen Beitrag antworten »

ja genau nur verstehe ich nicht wieso ich ein falsches Ergebnis bekomme wenn ich die 2 nicht aus der Ableitung herausziehe.

Also
(x)=(2x^3x+3) Aufgabenstellung

f1(x)= 2*d/dx [x^3x]+ d/dx [3] "die konstante wird zu +0 und die 2 ziehe ich heraus"

1/x^3x*f1(x)= 2*d/dx [ln(x^3x)] "nun habe ich folgendes Problem auf der linken seite steht
jetzt 1/x^3x , hätte ich die zwei nicht herausgezogen
würde
doch 1/2x^3 stehen? Das würde sich dann nicht mehr mit
der Gleichung aus der 3 Reihe decken oder Irre ich mich?

Außerdem noch eine zweite Frage ich hatte gestern diese Funktion gehabt

f(x)= (ln ((x(^2)+1)/e^x))^20

Die äußere Ableitung ist klar nur habe ich Probleme mit der inneren Ableitung.

Weil einmal bekomme ich das Packet e^x/(x^2+1) und das zweite Paket * (2x)/e^x

ergibt dann äußere Ableitung * (2x)/(x^2+1) jedoch ist das Ergebnis

äußere Ableitung * ((2x)/(x^2+1)-1)

ich kann mir das nicht erklären woher die Minus 1 kommt

außerdem habe ich die Gleichung in einen online Rechner eingeben, dieser hat die Ausgangsgleichung umgeformt in (ln((x^2+1)-x)^20

jetzt meine Frage was ist mit dem e^x geschehen?

Also sozusagen(ln(..))^20

Nun habe ich die Funktion versucht abzuleiten und kam einmal auf
die äußere Ableitung welche klar ist nur habe ich Probleme mit der inneren Ableitung gehabt.

denn man hat ja einmal 1/ (x^2+1)/e^x * 2x/e^x

Außerdem hast du ja geschrieben "Natürlich kannst Du nicht irgendeine Potenz aus dem Logarithmus ziehen, wenn das Argument eine Summe ist. Das klappt nur, wenn Das gesamte Argument potenziert wird."

Gilt das auch für Produkte oder Quotienten?

Nochmals vielen Dank für eure Hilfe und eure Geduld mit mir, Ihr habt mir gestern wirklich sehr geholfen
Mit freundlichen Grüßen

17.09.2019, 13:22

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von ONISAGA
1/x^3x*f1(x)= 2*d/dx [ln(x^3x)] "nun habe ich folgendes Problem auf der linken seite steht
jetzt 1/x^3x , hätte ich die zwei nicht herausgezogen
würde
doch 1/2x^3 stehen? Das würde sich dann nicht mehr mit
der Gleichung aus der 3 Reihe decken oder Irre ich mich?

Hier verstehe ich nicht, was du rechnest. Bei der Ableitung von $\begin{eqnarray*} x^{3x} \end{eqnarray*}$ solltest du besser vorher umformen:

$\begin{eqnarray*} x^{3x} = exp(ln(x^{3x})) = exp(3x \cdot ln(x)) = e^{3x \cdot ln(x)} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von ONISAGA
Außerdem noch eine zweite Frage ich hatte gestern diese Funktion gehabt

f(x)= (ln ((x(^2)+1)/e^x))^20

Auch hier hilft eine Umformung von dem Term, der in der Basis steht:

$\begin{eqnarray*} ln ((x^2+1)/e^x) = ln \left( \frac{x^2+1}{e^x} \right) = ln(x^2+1) - ln(e^x) = ln(x^2+1) - x \end{eqnarray*}$

Die Ableitung von der Basis (= innere Funktion) ist dann relativ simpel.

Zitat:

Original von ONISAGA
Außerdem hast du ja geschrieben "Natürlich kannst Du nicht irgendeine Potenz aus dem Logarithmus ziehen, wenn das Argument eine Summe ist. Das klappt nur, wenn Das gesamte Argument potenziert wird."

Gilt das auch für Produkte oder Quotienten?

Was immer du da erfragen willst, halte dich einfach an die Logarithmusregeln:

ln(a * b) = ln(a) + ln(b)

ln(a^b) = b * ln(a)

17.09.2019, 15:51

ONISAGA

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Antwort, es hat mir wirklich weitergeholfen. Jetzt sind so gut wie alle Fragen von
mir beantwortet.

Kannst du mir aber bitte erklären wieso du den Term umformst?
Ich verstehe nicht so ganz den Sinn dahinter wieso man eine e Funktion benutzt. Also meine Vermutung ist folgende:
Hat das was damit zu tun das e^ln(fx)= f(x) ist und du somit nicht, falls eine Funktion vorhanden ist die Funktion auf ln(f(x)) umstellen musst und deshalb viel praktikabler ist, sowie
die Ableitung dann einfach nur die e funktion selbst*die innere Ableitung ist?

Danke auf jeden fall für diesen Tipp ich werde Ihn versuchen häufiger zu benutzen.

Könnte man eigentlich auch die ganze funktion in eine e^ln(..) funktion umformen und wie sähe da die Ableitung aus?
Mit freundlichen Grüßen

17.09.2019, 16:19

Mathe-Novize

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von ONISAGA
Hat das was damit zu tun das e^ln(fx)= f(x) ist

So ist es. Immer, wenn du eine Funktion der Form $\begin{eqnarray*} f(x) = \textcolor{red}{g(x)}^{\textcolor{blue}{h(x)}} \end{eqnarray*}$ hast, kannst du diese umformen zu $\begin{eqnarray*} f(x) = \textcolor{red}{e}^{\textcolor{red}{\ln(g(x))}\cdot\textcolor{blue}{h(x)}} \end{eqnarray*}$ . Macht ja nichts kaputt, da ja $\begin{eqnarray*} f^{-1}(f(x)) = x \end{eqnarray*}$ gilt. Da aber bekannt ist, dass die Ableitung der e-Funktion wieder die e-Funktion ist, müssen wir hier nur noch ganz stumpf die Produktregel so oft anwenden, bis wir die Funktion komplett abgeleitet haben.
$\begin{eqnarray*} \begin{array}{ccl} \frac{d}{dx}f(x) &=& \frac{d}{dx}g(x)^{h(x)} \\ &=& \frac{d}{dx}e^{\ln(g(x))\cdot h(x)} \\ &=& e^{\ln(g(x))\cdot h(x)} \cdot \frac{d}{dx}\Big(\! \ln\!\big(g(x)\big) \!\cdot\! h(x) \!\Big) \\ &=& g(x)^{h(x)} \cdot \Big(\! \frac{d}{dx}\ln\!\big(g(x)\big)\cdot h(x) + \ln\!\big(g(x)\big)\cdot \frac{d}{dx}h(x) \!\Big) \\ &=& f(x) \cdot \Big(\! \frac{g^\prime(x)\cdot h(x)}{g(x)}+ \ln\!\big(g(x)\big)\cdot h^\prime(x) \!\Big) \end{array} \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst du dir aussuchen, ob du dir das so merkst oder ob du einfach mal selber noch ein paar Beispiele durchrechnest, bis das Muster sitzt. Dann wirst du schnell feststellen, dass es häufig einfacher ist, sich solche Dinge selbst herzuleiten, als sich sowas merken zu müssen.

Neue Frage »

Antworten »

Ableitung (2x+3)^3x

Verwandte Themen