Roulettekessel Ersatz

16.09.2019, 22:33

Dopap

Roulettekessel Ersatz

Eine kleine Geschichte muss sein:

Den Häftlingen einer Zelle ist mal wieder sau langweilig und Zeit ist reichlich vorhanden...
Ein gemeinsames Roulettespiel wäre sicher unterhaltsam. Leider sind nur Chips und der Spielfilz in der Spielesammlung vorhanden.
Immerhin steht eine faire Münze zur Verfügung.

Kann man Diese zu einer Simulation verwenden ?

Der Croupier coinflipped immer 6 mal in Folge wodurch $\begin{eqnarray*} 2^6= 64 \end{eqnarray*}$ Sequenzen ( Variationen ) möglich sind und definiert X:

$\begin{eqnarray*} (0,0,0,0,0,0) \to 0 \,\, ( \text{Grün} ) (0,0,0,0,0,1) \to 1 (0,0,0,0,1,0) \to 2 (0,0,0,0,1,1) \to 3 ....................... (1,0,0,1,0,0) \to 36 (1,0,0,1,0,1) \to 37 ........................... (1,1,1,1,1,1) \to 63 \end{eqnarray*}$

Wenn $\begin{eqnarray*} X\notin\{0;36 \} \end{eqnarray*}$ dann wird wiederholt bis $\begin{eqnarray*} X\in \{0;36\} \end{eqnarray*}$ und das terminiert wieder mit Wkt 1.

Wenn die Münze verdächtig sein sollte, kann die Münze durch den unfairen Spielewürfel :

Der unfaire Holzwürfel

ersetzt werden.

( wenn's stimmt!) Fazit: Somit kann jeder Zufallsversuch mit rationaler Ausfallwahrscheinlichkeit
durch Simulation mit einer unfairen Münze ersetzt werden(?)

17.09.2019, 09:28

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Dopap
Fazit: Somit kann jeder Zufallsversuch mit rationaler Ausfallwahrscheinlichkeit durch Simulation mit einer unfairen Münze ersetzt werden(?)

... mit im worst-case unendlich vielen Versuchen, ja. Aber das gilt bereits für den Fall, dass man mit einer fairen Münze eine Laplace-Verteilung auf einem $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ simulieren möchte, wo $\begin{eqnarray*} |\Omega| \end{eqnarray*}$ keine Zweierpotenz ist.

Gleiches trifft zu auf die Simulation mit einem fairen Würfel, wenn $\begin{eqnarray*} |\Omega| \end{eqnarray*}$ auch andere Primfaktoren als 2 oder 3 enthält. Augenzwinkern

17.09.2019, 13:31

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

etwas präziser:

Jeder Binomialversuch mit den rationalen Wahrscheinlichkeiten $\begin{eqnarray*} \frac ab \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1-\frac ab \end{eqnarray*}$ kann mit einer fairen Münze simuliert werde.

Sei $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N : 2^{n-1} < b \leq 2^n \end{eqnarray*}$ dann zählen a Sequenzen als Gewinn und b-a Sequenzen als Verlust.

die restlichen Sequenzen bedeuten Neustart.

Die faire Münze könnte aber durch Simulation mit einer gezinkten Münze ersetzt werden.

----------------------------

Warum sollte die vorgestellte Roulettsimulation nicht für eine Gleichverteilung der 37 Zahlen sorgen verwirrt

Etwa weil dein Omega alle Ergebnisse der 6 stufigen Versuche enthält.?

17.09.2019, 17:04

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Dopap
Warum sollte die vorgestellte Roulettsimulation nicht für eine Gleichverteilung der 37 Zahlen sorgen

Bestreitet doch keiner. Ich hab nur drauf aufmerksam gemacht, dass es kein Verfahren mit einer beschränkten Anzahl von Münz- oder meinetwegen auch Holzwürfelversuchen pro Roulettesimulation ist. Es gibt also keinen worst-case im eigentlichen Wortsinn: Jede noch so große denkbare Wurfanzahl wird mit positiver Wahrscheinlichkeit überschritten.

Das wäre ja bei einem Roulettefeld mit 64 statt 37 Feldern sowie einer ungezinkten Münze anders: Da wirft man genau 6-mal und hat seinen diskret gleichverteilten Wert.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Das Problem begegnet einem auch immer wieder bei Simulationen am Rechner, auch wenn es vielen nicht bewusst ist:

Die Zufallszahlenbibilotheken liefern i.d.R. Zufallszahlen $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Bit, von denen man ausgeht (glaubt / sich einbildet / ... ) sie seien diskret gleichverteilt auf $\begin{eqnarray*} \left\{ 0,1,\ldots, 2^n-1\right\} \end{eqnarray*}$ .

Wie erzeugt man daraus diskret gleichverteilte Zahlen auf $\begin{eqnarray*} \left\{ 0,1,\ldots, m-1\right\} \end{eqnarray*}$ für vorgegebenes positives $\begin{eqnarray*} m\ll 2^n \end{eqnarray*}$ ? Nun, meistens wird so vorgegangen: Man berechnet $\begin{eqnarray*} x = \left\lfloor z\frac{m}{2^n} \right\rfloor \end{eqnarray*}$ und nimmt das dann als ausgewürfelten Wert. Je niedriger man aber $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ wählt in Relation zu $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ , umso ungenauer wird dieses Verfahren. Z.B. hatte der hauseigene Zufallszahlengenerator im seligen Turbo-Pascal glaube ich nur n=15 Bit (wenn ich mich recht erinnere). Wenn man dann nach obigem einfachen Prinzip maximal vierstellige gleichverteilte Zufallszahlen auswürfelt, d.h. mit $\begin{eqnarray*} m=10000 \end{eqnarray*}$ , dann erhält man bei sturer Anwendung des Verfahrens $\begin{eqnarray*} x = \left\lfloor z\frac{m}{2^n} \right\rfloor \end{eqnarray*}$ statt einer Gleichverteilung jeweils Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} \frac{4}{32768} \approx 0.000122 \end{eqnarray*}$ für 2768 der 10000 Werte, und jeweils $\begin{eqnarray*} \frac{3}{32768} \approx 0.000092 \end{eqnarray*}$ für die restlichen 7232 Werte. Das ist natürlich ganz schön weit entfernt von den gewünschten $\begin{eqnarray*} \frac{1}{10000} = 0.0001 \end{eqnarray*}$ für jeden der Werte. Augenzwinkern

Gut, das Beispiel war jetzt extrem und verdeutlicht was passiert, wenn man $\begin{eqnarray*} m\ll 2^n \end{eqnarray*}$ nicht einhält. Aber auch wenn es weniger extrem zugeht, sollte man sich dieser Ungenauigkeit bewusst sein - die man natürlich (auf Kosten der Simulationszeit) mit Dopaps obigen Ideen vermeiden kann.

18.09.2019, 04:33

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

verstehe, das mit dem beschränkt ist mir entgangen oder ist gut versteckt..

Heutzutage braucht man sich auf dem TR und 64 Bit keine Gedanken mehr machen, man wird sogar nachlässig und programmiert unterminierte Sachen, so z.b für Lottozahlen indem man 6 x mit Zurücklegen und konstanter Gleichverteilung in einer Schleife zieht, die mit UNTIL "X= new" END endet.

---------
Überlege gerade ob man eine irrationale Wkt.wie $\begin{eqnarray*} \frac1e \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \frac 1\pi \end{eqnarray*}$ mit einer fairen Münze simulieren könnte.
Gut, sinnfreie Überlegung, aber in Mathe ist ja alles möglich sofern es nicht explizit verboten ist. Augenzwinkern

Neue Frage »

Antworten »

Roulettekessel Ersatz

Verwandte Themen