Wie kann ich die Art einer Polstelle bestimmen

17.09.2019, 18:16	Gast2118	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie kann ich die Art einer Polstelle bestimmen Meine Frage: Eine gebrochen rationale Funktion hat eine Definitionslücke, genauer gesagt eine Polstelle. Ich möchte untersuchen, wie sich die Funktion auf beiden Seiten der Polstelle verhält, also ob sie gegen positiv oder negativ unendlich läuft und so die Art der Polstelle bestimmen (mit oder ohne Vorzeichenwechsel). Meine Ideen: Die Definitionslücke ist zum Beispiel 2. Ich würde einmal einen kleineren Wert (z.B. 1,9) und einmal einen größeren (z.B. 2,1) in die Funktion einsetzen. Wenn das Ergebnis größer 0 ist, dann verläuft die Funktion auf dieser Seite gegen positiv unendlich, bei kleiner 0 gegen negativ unendlich. Stimmt das immer so?
17.09.2019, 18:37	Mathe-Novize	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie kann ich die Art einer Polstelle bestimmen Kannst du so machen, klappt aber eigentlich nur bei recht einfachen Funktionen und bei solchen, die recht schnell gegen $\begin{eqnarray} \pm\infty \end{eqnarray}$ streben. Mathematisch korrekt und schöner wäre es doch, das Verhalten einfach mithilfe des Grenzwertes zu ermitteln. So z.B. für die Funktion $\begin{eqnarray} \frac{1}{2-x} \end{eqnarray}$ : Grenzwert bei 2 bei linksseitiger Näherung: $\begin{eqnarray} \lim_{x\to2-}\frac{1}{2-x} = \lim_{\delta \to 0}\frac{1}{2-(2-\delta)} = \lim_{\delta \to 0}\frac{1}{\delta} = \infty<br /> \end{eqnarray}$ Analog dazu dann bei rechtsseitiger Näherung: $\begin{eqnarray} \lim_{x\to2+}\frac{1}{2-x} = \lim_{\delta \to 0}\frac{1}{2-(2+\delta)} = \lim_{\delta \to 0}\frac{1}{-\delta} = -\infty<br /> \end{eqnarray}$ Das ist der analytisch saubere Weg und dieser gibt dir auch die Gewissheit, ob du es wirklich mit einer Polstelle oder z.B. mit einer hebbaren Definitionslücke zu tun hast. Was sagt dir denn bei deiner Funktion, dass diese sich ab 2,0001 nicht doch noch gegen einen festen Wert entwickelt?

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