Ableitung mit Gradienten

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CrazyWasserratte Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitung mit Gradienten
Meine Frage:
Hallo,

wir gehen von einem multilinearem Fall aus

[latex]y = f(x_{1}, ... x_{m}) = a_{0} + \sum\limits_{k=1}^{m} a_{k}x_{k}[\latex]

Danach soll die Summe der quadratischen Abweichungen minimiert werden die wie folgt sind:

[latex]F(\vec{a}) = (X\vec{a}-\vec{y})^{T}(X\vec{a}-\vec{y})[\latex]

Um ein Minimum zu berechnen muss die folgende Bedingung erfüllt sein:
[latex]\vec{\nabla}_{\vec{a}}F(\vec{a}) = \vec{\nabla}_{\vec{a}}(X\vec{a}-\vec{y})^{T}(X\vec{a}-\vec{y}) = \vec{0}[\latex]

Wenn man nun die Ableitung ausrechnet erhält man:
[latex]\vec{\nabla}_{\vec{a}}F(\vec{a}) = \vec{\nabla}_{\vec{a}}(X\vec{a}-\vec{y})^{T}(X\vec{a}-\vec{y})[\latex]

was weiter ausgerechnet wird zu:
[latex] = (\vec{\nabla}_{\vec{a}}(X\vec{a}-\vec{y}))^{T}(X\vec{a}-\vec{y}) + ((X\vec{a}-\vec{y})^{T}(\vec{\nabla}_{\vec{a}}(X\vec{a}-\vec{y})))^{T}[\latex]

Mir ist leider nicht klar wie ich auf die letzte Gleichung komme.

Meine Ideen:
Ich habe mir überlegt ob hier mit der Produktregel abgeleitet wird, allerdings bin ich nicht so fit im Umgang mit Matrizen, sodass sich mir hier die Rechenschritte nicht erschließen.
Danke!
CrazyWasserratte Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung mit Gradienten
Hallo,

noch einmal meine Frage anständig formatiert:
wir gehen von einem multilinearem Fall aus



Danach soll die Summe der quadratischen Abweichungen minimiert werden die wie folgt sind:



Um ein Minimum zu berechnen muss die folgende Bedingung erfüllt sein:


Wenn man nun die Ableitung ausrechnet erhält man:


was weiter ausgerechnet wird zu:


Mir ist leider nicht klar wie ich auf die letzte Gleichung komme.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung mit Gradienten
Hm. Ich hätte jetzt auch eher diesen Ausdruck erwartet:

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