Arithmetische Summe, Transformation

18.09.2019, 12:41	MaPalui	Auf diesen Beitrag antworten »
Arithmetische Summe, Transformation Hallo Leute Ich habe hier gerade eine Aufgabe, da wird die arithmetische Summe über Transformation gelöst: $\begin{eqnarray} S = \sum\limits_{k=0}^n a\cdot k, a\in\mathbb R \end{eqnarray}$ . Die Transformation $\begin{eqnarray} k\mapsto n-k \end{eqnarray}$ ergibt $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^n (n-k)a \end{eqnarray}$ . Es geht mir nun nicht um die Rechnerei, die ist nicht das Problem, sondern ich frage mich, warum diese Transformation erlaubt ist. Klar, ich laufe nun nicht mehr von 0 bis n, sondern von n bis null. Aber das als Erklärung erscheint mir nicht sehr "mathematisch" bzw. analytisch Sollte man nicht vielleicht eine kurze Ausführung geben, dass diese Transformation das gleiche Ergebnis bringt? LG Maren
18.09.2019, 13:07	Matt Eagle	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Arithmetische Summe, Transformation Das liegt daran, dass die Addition kommutativ ist. Manchmal ist es zur Veranschaulichung ganz hilfreich so was für ein konkretes Beispiel (hier n=5) explizit hinzuschreiben: $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^5 ka= a +2a+3a+4a+5a \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^5(5-k)a=5a+4a+3a+2a+a. \end{eqnarray}$
18.09.2019, 13:12	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Da ist kein analytisches Geheimnis dahinter Die Transformation "dreht" einfach die Summe um. Die arithmetische Reihe wird anstatt von 0 bis n eben von n bis 0 summiert: 0 + 1 + 2 + .... + (n-1) + n ist idenisch mit n + (n-1) + ... 2 + 1 + 0 mY+
18.09.2019, 14:39	MaPalui	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo ihr beiden Ich danke euch sehr für eure Antworten. Meine Frage war in die falsche Richtung gestellt. Anders: Ist jede Transformation erlaubt? Wie würde man analytisch die TraFo $\begin{eqnarray} k\mapsto \frac{k}{2} \end{eqnarray}$ rechnen?
18.09.2019, 16:13	Mathe-Novize	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles, was du an den einzelnen Summanden einer Summe mit Rechengesetzen anstellen darfst, drafst du auch an der ganzen Summe machen. Wie oben bereits dargestellt wurde, bewirkt die Transformation $\begin{eqnarray} k \mapsto (n-k) \end{eqnarray}$ einfach nur eine Umkehr der Summationsreihenfolge, was wegen des Kommutativgesetzes identisch zur ursprünglichen Summe ist. Die Transformation $\begin{eqnarray} k \mapsto \frac{k}{2} \end{eqnarray}$ würde dann demnach folgendes bewirken: $\begin{eqnarray} \begin{array}{lccccccccc}<br /> \hphantom{\longrightarrow} & \displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n} a\!\cdot\! k &=& a \!\cdot\! 1 &+& a \!\cdot\! 2 &+& \!\cdot\! &+& a \!\cdot\! n \\<br /> \stackrel{k\ \mapsto\ \frac{k}{2}}{\longrightarrow} & \displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n} a \!\cdot\! \frac{k}{2} &=& a\!\cdot\!\frac{1}{2} &+& a\!\cdot\!\frac{2}{2} &+& \cdots &+& a\!\cdot\!\frac{n}{2}<br /> \end{array} \end{eqnarray}$ Um das wieder gut zu machen, müsstest du die Summe dann mit 2 multiplizieren, um den Summenwert zu erhalten. Wenn du also eine Transformation vornimmst, musst du einen anderen Faktor einbauen, der deine Transformation wieder wett macht, damit du die Summe insgesamt nicht veränderst. Änderst du bspw. die Grenzen der Laufvariable, so musst du die Variable entsprechend innerhalb der Summe anpassen. Diese Transformationen müssen aber linear bleiben.

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