Überlagerung / Mischung von Normalverteilungen

18.09.2019, 16:27	Alex2310	Auf diesen Beitrag antworten »
Überlagerung / Mischung von Normalverteilungen Meine Frage: Hallo zusammen, ich habe das folgende Problem. Ich muss ausrechnen, wie das Streuungsmaß von sich zwei mischenden Normalverteilungen ist. Ausgangspunkt ist, dass ich an einem Knotenpunkt verschiedene Eingangsströme habe, deren Mittelwert immer 0 ist, die aber unterschiedliche Standardabweichungen haben. Die Überlagerung dieser Ströme dient als Eingang für die nachfolgenden Untersuchungen, allerdings brauche ich dafür das Streuungsmaß. Meine Ideen: Meine Idee war es, das Streuungsmaß auf Basis der gängigen Formel für die Summe von Zufallsvariablen zu machen, allerdings ist dies hier ja nicht der Fall, da es sich um eine Überlagerung handelt. Leider weiß ich bei dem ganzen nicht weiter. Vielleicht kann mir ja jemand helfen.
18.09.2019, 16:44	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Überlagerung / Mischung von Normalverteilungen Willkommen im Matheboard! Überlagerung und Addition ist dasselbe. Wenn die Bandbreite der Rauschsignale also dieselbe ist, kannst Du wie üblich die Varianzen addieren. Viele Grüße Steffen
18.09.2019, 17:00	Alex2310	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Überlagerung / Mischung von Normalverteilungen Hallo, vielen Dank! Ich versteh leider nicht ganz. Wenn ich die beiden Funktionen überlagere kommt ja nicht wieder eine Normalverteilung heraus, sondern eine Verteilung die im bestimmten Bereichen mehr der einen Eingangsverteilung und mal mehr der anderen Eingangsverteilung entspricht. Ich habe das ein mal exemplarisch mit den Standardabweichungen 1 und 4 gemacht und diese hälftig überlagert. Im Anschluss habe den Streuungsparameter über die bekannte Funktion berechnet und komme auf 2,91. Die Kurve liegt eingezeichnet (grün). Das Ganze scheint mir nicht ganz zu passen...
18.09.2019, 17:06	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Überlagerung / Mischung von Normalverteilungen Was ich meine, ist nicht die Addition der Histogramme, sondern die zeitliche Addition der Stromsignale, um die es Dir ja geht. Und wenn der erste Strom eine Standardabweichung von 3mA hätte und der zweite eine von 4mA, dann wird die Überlagerung (also Addition) dieser beiden Ströme eine Standardabweichung von 5mA haben. Oder meinst Du was anderes?
18.09.2019, 17:10	Alex2310	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Überlagerung / Mischung von Normalverteilungen Ah ok. Was ich meine ist, dass du zwei Quellen hast, die quasi Abwechselnd den Knoten "befeuern". Es findet also keine Überlagerung der Ströme statt sondern ich habe zwei einzelne Verteilungen. Ich würde die aber gerne in eine Funktion zusammenfassen, die mir quasi unabhängig von der Quelle sagt, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist z.B. 1ma Abweichung zu haben. Ansonsten verstehe ich was du meinst. Bei der Addition der Zufallsvariablen gebe ich dir sofort recht.
18.09.2019, 17:31	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Überlagerung / Mischung von Normalverteilungen Ah, interessant. Dann kann man das auch als Additionssignal sehen, und zwar von Quelle 1, die z.B. eine Sekunde lang feuert und eine weitere Sekunde auf Null ist. Quelle 2 ist dagegen in der ersten Sekunde auf Null, in der zweiten feuert sie. Und beide Signale werden nun addiert. Auch hier addieren sich die Varianzen, die müssen wir nun eben herausfinden. Im zeitlichen Mittel sind die einzelnen Signalamplituden ja halbiert, somit auch die Standardabweichungen. Also wird z.B. aus der 3mA-Quelle eine 1,5mA-Quelle, so wie aus der 4mA-Quelle eine 2mA-Quelle wird. Addiert ergibt das nun eine Standardabweichung von 2,5mA. Wenn der Takt der beiden Quellen nicht 1:1 ist, muss man entsprechend anders gewichten.
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18.09.2019, 17:37	Alex2310	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Überlagerung / Mischung von Normalverteilungen Ok, also den Streuungsparameter bekomme ich heraus. Allerdings ist die Verteilung wie oben zu sehen keine Normalverteilung mehr. Gibt es hierfür eine Beschreibung?
19.09.2019, 10:04	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Überlagerung / Mischung von Normalverteilungen Ich kann die Begründung momentan nicht herleiten, aber wenn man Rauschsignale addiert, können nicht einfach die Verteilungen addiert werden. In meinem Beispiel mit Standardabweichung 3 (rot) und 4 (grün) ergäbe sich dann eine "Glockenkurve" (blau), deren "Standardabweichung" (als Wendestelle) zwar berechnet werden kann, aber nicht die erwartete 5 ergibt, sondern etwa 3,3: Insbesondere stellt diese Addition zweier Normalverteilungen auch keine Normalverteilung mehr dar, es ist also nicht zulässig, hier eine "Standardabweichung" zu berechnen.

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