Gleichung der Lotgerade bestimmen

19.09.2019, 14:52

Letti

Gleichung der Lotgerade bestimmen

Meine Frage:
Hallo,

ich bräuchte einmal zur folgenden Aufgabe Hilfe:

Vom Ursprung aus wird das Lot 1 auf die Gerade g1 gefällt. Stellen Sie eine Gleichung der Trägergeraden des Lots 1 auf.

gegeben $\begin{eqnarray*} g1:\vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ -3 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich weiß, dass das Lot zu einer Gerade senkrecht zu dieser steht. Aber leider habe ich Verständnisprobleme, was jetzt die Trägergerade des Lots 1 ist.

Die Lotgeradengleichung hat ja wegen dem Ursprung den Punkt (0|0|0), ist dass dann auch schon der Stützvektor und kann dann einfach den Richtungsvektor von g1 nehmen??

Ich wäre sehr für Tipps dankbar

19.09.2019, 21:03

Bürgi

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RE: Gleichung der Lotgerade bestimmen
Guten Abend,

1. So wie die Aufgabe abgefasst ist, ist das Lot die kürzeste Strecke vom Ursprung zur Geraden $\begin{eqnarray*} g_1 \end{eqnarray*}$ . Dieses Lot liegt auf einer Geraden, der Trägergeraden.

2. Das Standardverfahren zur Bestimmung der Geradengleichung läuft folgendermaßen :
a) Stelle die Gleichung einer Hilfsebene H auf, auf der $\begin{eqnarray*} g_1 \end{eqnarray*}$ senkrecht steht, d.h., der Richtungsvektor von $\begin{eqnarray*} g_1 \end{eqnarray*}$ ist der Normalenvektor von H.
b) Berechne den Schnittpunkt F von H mit $\begin{eqnarray*} g_1 \end{eqnarray*}$ .
c) Die Verbindungsgerade vom Ursprung zu F ist die gesuchte Trägergerade.

Persönliche Anmerkung : Ich sitze z.Zt. in Dänemark auf Düne 28 und habe nur ein Smartphone zur Hand, wodurch der Text etwas holprig wird.

19.09.2019, 21:23

Letti

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RE: Gleichung der Lotgerade bestimmen
Ich danke dir für deine Antwort! Und viel Spaß in Dänemark smile

19.09.2019, 21:45

eurolive

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Ich persönlich würde die Gerade als Punkt bzw. Punkteschar G(3+2t|7+t|-3+2t) schreiben und dann einfach G bzw. t so bestimmen, dass $\begin{eqnarray*} \vec{OG} \perp \vec{r_{g_1}} \Rightarrow \begin{pmatrix} 3+2t \\ 7+t \\ -4+2t \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} =0 \end{eqnarray*}$

Damit dürfte es sogar ein Einzeiler werden.

19.09.2019, 21:47

eurolive

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Meinen Tippfehler darfst du selbst korrigieren. Augenzwinkern

21.09.2019, 13:14

mYthos

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In der Tat ist der Weg von eurolive eleganter und kürzer.
Bürgi hat den klassisch konventionellen Weg beschrieben, also als eine Art Konstruktionsgang.
-------
Übrgens befindet sich der Tippfehler in der 3.Komponente des Punktvektors ..

mY+

22.09.2019, 12:55

Letti

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RE: Gleichung der Lotgerade bestimmen
Hallo,

Muss ich, wenn ich die Hilfsebene aufstelle, dann nach dem Gleichheitszeichen das skalar von dem Normalenvektor und einem Punkt auf g1 bilden?

22.09.2019, 13:25

Letti

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Zitat:

Original von eurolive
Ich persönlich würde die Gerade als Punkt bzw. Punkteschar G(3+2t|7+t|-3+2t) schreiben und dann einfach G bzw. t so bestimmen, dass $\begin{eqnarray*} \vec{OG} \perp \vec{r_{g_1}} \Rightarrow \begin{pmatrix} 3+2t \\ 7+t \\ -4+2t \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} =0 \end{eqnarray*}$

Damit dürfte es sogar ein Einzeiler werden.

Und mit welchem anderen Punkt stelle ich die Trägergerade auf? Mit dem Ursprung?

22.09.2019, 14:42

eurolive

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Ja genau, denn von dort aus soll das Lot ja laut Aufgabenstellung gefällt werden.

22.09.2019, 15:36

Letti

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Zitat:

Original von eurolive
Ja genau, denn von dort aus soll das Lot ja laut Aufgabenstellung gefällt werden.

Danke für die schnelle Antwort!

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