Gleichmächtige Mengen

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Laura4553 Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichmächtige Mengen
Meine Frage:
Hallo, meine Frage ist, ob die Mengen R und R\{0} gleichmächtig sind?

Meine Ideen:
Ich weiß, dass man schauen muss, ob sich eine bijektive Abbildung konstruieren lässt. Mir will keine einfallen, obwohl ich intuitiv gesagt hätte, dass R und R\{0} gleichmächtig sind. Könntet ihr mir bitte helfen?
Wie sähe die bijektive Abbildung aus, falls es denn eine gibt?
G190919 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichmächtige Mengen
Es läuft auf die Frage hinaus: Was ist (überabzählbar) Unendlich -1?
 
 
Laura4553 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichmächtige Mengen
Überabzahlbär unendlich - 1 = weiterhin überabzählbar, oder nicht?
G190919 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichmächtige Mengen
Das sehe ich auch so.

Unendlich -10^1000000.... ist immer noch unendlich.
Beachte: Unendlich ist ein unbestimmter Begriff.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichmächtige Mengen
Eine bijektive Abbildung lässt sich leicht finden, z. B.



Laura4553 Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar, vielen Dank!!!! Freude
Laura4553 Auf diesen Beitrag antworten »

Wisst ihr auch, wie sich eine bijektive Abbildung für f: [-1, 1] --> R konstruieren ließe? Bitte helft mir
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Eine solche stetige Abbildung wirst du nicht finden, weil es die nicht gibt. Also musst du auf was unstetiges ausweichen, z.B.

1) bijektiv, z.B. .

2) .
Laura4553 Auf diesen Beitrag antworten »

Glaub ich hab's. So richtig?

f: [-1, 1] --> R,

f(x) = x, falls x€{-1,0,1} und (1/x), falls x€(-1, 1)\{0}
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist keine bijektive Abbildung zwischen und . Das Intervall wird abgebildet auf . Das heißt, mit Ausnahme der Null haben die Zahlen mit keine Urbilder.

Wenn man nur an einem Beweis der Gleichmächtigkeit zweier Mengen interessiert ist, ist statt der Angabe einer bijektiven Abbildung zwischen den Mengen oft der Satz von Cantor-Bernstein die einfachere Möglichkeit:

Zwei Mengen und sind gleichmächtig, wenn es eine injektive Abbildung und eine injektive Abbildung gibt.
Laura4553 Auf diesen Beitrag antworten »

Ahh, das ist ein schöner Satz, danke! Aber ich komme einfach nicht auf eine injektive Funktion für

f: R --> [-1, 1]


Könntest du mir dabei bitte helfen?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Das leistet z. B. die Umkehrabbildung von aus dem Beitrag von HAL:



Dir ist doch aufgefallen, dass HAL eine Bijektion zwischen und angegeben hat?
Laura4553 Auf diesen Beitrag antworten »

Das war doch eine bijektive Funktion von [-1, 1] auf (-1, 1) ...

Oder ist es so, dass wenn wir eine bijektive Funktion von [-1, 1] auf R suchen, es reicht eine bijektive Funktion von [-1, 1] auf (-1, 1) zu finden? Auf jeden Fall danke für den Hinweis!!!!
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

HAL hat das in 2 Schritten gemacht. Er hat zuerst bijektiv auf abgebildet und dann bijektiv auf .
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »
wieder einer, der nur OBERFLÄCHLICH liest...
Dabei habe ich mir solche Mühe gegeben und die Zwischenfunktion genannt, und die Endfunktion dann erst - so wie vorgegeben. Augenzwinkern
Laura4553 Auf diesen Beitrag antworten »

Pardonne-moi! Mein Fehler, hatte nicht richtig hingeschaut! Danke, Hal, dein Beitrag hat mir sehr geholfen smile Und danke Huggy!
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