Punkt- und Bogenelastizität

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ONISAGA Auf diesen Beitrag antworten »
Punkt- und Bogenelastizität
Hallo ich bin es wieder, diesmal geht es darum ob die Musterlösung einen falschen Ansatz gewählt hat.

Die Fragestellung lautet

Bestimmen Sie - ausgehend von einer aktuellen Ausbringungsmenge von x=100 - wie sich die Kosten approximativ in Prozent verändern!

Mit der Formel f(x)=(x^2-x+50)^(1/3)

a) wenn x um 3% steigt
b) wenn x um 6 % sinkt

In der Musterlösung wird die Punktelastizität berechnet und einmal mit 3 und -6 multipliziert.

Ich verstehe jedoch nicht wieso man nicht die Bogenelastizität benutzt da es doch eine viel genauere Annäherung angeben sollte als die Punktelastizität welche ja einen stellt ja setzt ja sozusagen einen Grenzwert voraus, während die Be. eine relative Änderung definiert.

Außerdem verstehe ich etwas an meinem Ergebnis nicht.


Wenn ich die Be. berechnen will und das so im Taschenrechner für b) eingebe bekomme ich das heraus

((20,64-21,94)/21,94/(94-100)/100) = 0,9875

wie kann es denn sein dass wenn die Menge sinkt der Preis steigt oder muss ich 100*0,9875 -100 rechnen um die prozentuale Veränderung zu bekommen?

Habe ich vielleicht etwas grundsätzlich an der Bogenelastizität nicht verstanden ?

Mit freundlichen Grüßen?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »
Punkt- und Bogenelastizität
Sieht so aus (dass du da etwas falsch verstehst!) ...

Zitat:
Original von ONISAGA
...
wie kann es denn sein dass wenn die Menge sinkt der Preis steigt ..
...

Das kann durchaus sein, gerade bei der PAF (Preis-Absatzfunktion) ist das meistens so, denn wenn der Preis steigt, sinkt die nachgefragte Menge. Die Elastizität wird also auch negativ sein können.
-------
Hier liegt allerdings nicht die PAF vor, sondern eine Kostenfunktion, bei der die Kosten mit steigender Menge auch steigen.
Dein negatives Resultat beruht auf einem Rechenfehler bzw. falscher Eingabe deinerseits. Auch das absolute Ergebnis ist - hinsichtlich der Bogenelastizität - falsch.
Der Grund: Deine Formel stimmt nicht.

Auf Grund der Tatsache, dass die vorgelegte Kostenfunktion im Bereich x = 100 einen fast linearen Verlauf aufweist, müssen die Bogen- und die Punktelastizität praktisch identisch sein.
(Die Punktelastizität ist die "tangentiale" Bogenelastizität, also ein Grenzwert)



Für die Elastizität gilt



Der erste Bruch stellt - noch vor dem Grenzübergang - die Bogen-(Strecken-)Elastizität im Bereich dar, der zweite als Grenzwert die exakte Elastizität an der Stelle x (Punktelastizität).

Die Bogenelastizität muss allerdings wiederum auf die Stelle (x) bezogen werden! Daher sind die Bezugsgrößen die Stelle x und der Funktionswert daselbst (!).

Es ist somit in der o.a. Formel durch zu ersetzen.



a)
; Die Werte gleich in den ersten Bruch eingesetzt:

Die Punktelastizität an der Stelle x = 100 ist

Wenn du das Ganze nun verstanden hast, rechne bitte die Aufgabe mit b) fertig.
------------

Bezüglich deiner Frage, weshalb mit 3 bzw. -6 multipliziert wird:
Man geht dabei von einer Änderung der unabhängigen Größe um 1% aus; dies wird mit der Punktelastizität annähernd so beschrieben.
Im Übrigen kannst du den Sachverhalt dort noch genauer nachlesen.

mY+
 
 
ONISAGA Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen vielen vielen Dank!!!

Nachdem ich alles noch einmal ausgerechnet habe, bin ich jetzt auf die richtigen Ergebnisse gekommen und hatte ich den falschen Preis für eine Menge von 100 raus, nachdem ich das alles in den Tr eingeben habe bekam ich dann auch eine Elastizität von ca. 2/3 für die Bogen sowie Punktelastizität raus. Jetzt machen die Ergebnisse auch viel mehr Sinn. Vielen Dank für die Zeit die du dir genommen hast. Die Interpretierung der Ergebnisse machen nun Sinn.

Aber eine Frage die ich mir immer noch nicht klar ist, wieso wird die Punktelastizität in der Lösung benutzt? Ich meine bei diesem Funktionsgraphen macht es ja noch Sinn, weil sich die Bogen und Punktelastizität fast gleich sind. Jedoch könnte es doch auch sein, dass eine Funktion bei dem Punkt 101 eine Wendestelle hat oder noch steiler wird, weil dass die Elastizitäten fast deckungsgleich sind, muss ja nicht immer zutreffen oder? In diesem Sinne müsste man doch die Bogenelastizität berechnen und diesen dann mit delta x multiplizieren. Weil die Punktelastizität mach doch nur Sinn wenn delta x sehr klein wäre?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ONISAGA
...
In diesem Sinne müsste man doch die Bogenelastizität berechnen und diesen dann mit delta x multiplizieren.
...

Dieser Zusammenhang ist definitionsgemäß nicht richtig. Was soll denn dabei herauskommen?

Zitat:
Original von ONISAGA
...
Weil die Punktelastizität mach doch nur Sinn wenn delta x sehr klein wäre?


Ja, so ist es. Die Bogenelastizität ist immer ein Mittelwert, so wie es auch der Differenzenquotient hinsichtlich des Differentialquotienten ist.
Die Punktelastizität ist ein exakter Momentanwert an einer Stelle (x), den man in einer kleinen Umgebung ( ist ca. 1% von x) auch für die Bogenelastizität heranziehen kann.
Bei größeren Umgebungen kommst du um die Berechnung der Bogenelastizität selbstverständlich nicht herum.

Im gegenständlichen Beispiel ist der Kurvenverlauf z.B. zwischen den Stellen 2 und 6 durchaus nicht linear.



Die Punktelastizität bei x = 2 ist 0.0385, bei x = 6 beträgt sie 0.275, die Bogenelastizität zwischen 2 und 6 ist hingegen 0.0772

Berechnet man die Bogenelastizität hingegen im 1%-Intervall [2; 2.02], so kommt man auf 0.0387. Der absolute Fehler beträgt dann nur 0.0002.
Somit kommt die Bogenelastizität in einem 1%-Intervall mit guter Näherung an die Punktelastizität heran.

mY+
ONISAGA Auf diesen Beitrag antworten »

"Dieser Zusammenhang ist definitionsgemäß nicht richtig. Was soll denn dabei herauskommen?"

Hmmm, also ich habe mir das so vorgestellt, dass die Bogenelastizität sozusagen prozentuale Änderung der Differenz von den gesuchten Werten angibt also bei Aufgabe a) 3%, hätte ich dass so aufgefasst. Wie groß ist die Elastizität zwischen x=100 und x=103. dafür bekomme ich dann 0,6634 heraus dies dann mit delta x multipliziert ergibt ca. 2%. Somit würde ich doch ein viel genaueres Ergebnis bekommen, wie als wenn ich die Punktelastizität berechne, weil es könnte doch sein dass bei einer anderen Funktion an dem Punkt x= 101 eine Wendestelle liegen könnte zum Beispiel?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ONISAGA
...
.. dass die Bogenelastizität sozusagen prozentuale Änderung der Differenz von den gesuchten Werten angibt also bei Aufgabe a) 3%, hätte ich dass so aufgefasst. ..
...

So auch nicht. Die Bogenelastizität ist keine Prozentzahl, sondern ebenfalls ein dimensionsloses Verhältnis und sie ist lediglich ein Näherungswert für die (Punkt-)Elastizitäten in dem entsprechenden Intervall.

Aber ich verstehe, was du meinst!
Es ist richtig, dass, wenn die relative Änderung des x-Wertes bei 3% liegt, die des Funktionswertes 2% beträgt.
Der Quotient 2/3 ist dann ja die Elastizität = 0.667 und es gilt auch die Umkehrung, also Elastizität mal 3 gibt die prozentuelle relative Änderung des Funktionswertes an.
Mittels der Elastizität kann man also auf die Änderung der abhängigen Größen schließen und das macht man ja in der Praxis auch so.

Unabhängig davon kannst du ja immer anstatt der Punktelastizität die Bogenelastizität berechnen, wenn "Ausreisser" drohen. Das können z.B. Polstellen in der nächsten Nähe sein, allerdings macht ein Wendepunkt in dieser Hinsicht keine Probleme (!).
Nebenbei bemerkt, hat die Berechnung der Punktelastizität ohnehin nur bei differenzierbaren (und damit stetigen) Funktionen einen Sinn.

mY+
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