Weierstraßsche Zerlegungsformel

20.09.2019, 06:14

MatheFreak3112

Weierstraßsche Zerlegungsformel

Meine Frage:
Hallo,

ich sitze gerade, in Vorbereitung auf eine mündliche Prüfung in Analysis, an der Weierstraßschen Zerlegungsformel. Leider verstehe ich diesen Satz nicht vollständig und hoffe, dass mir hier jemand weiterhelfen kann. Da diese Frage bzw. das Problem wenig konkret ist, hier meine Überlegungen dazu:

Meine Ideen:
Weierstraßsche Zerlegungsformel
Eine Funktion $\begin{eqnarray*} f: I \Rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist genau dann differenzierbar im Punkt $\begin{eqnarray*} x(0) \in I \end{eqnarray*}$ , wenn es ein $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und eine Funktion $\begin{eqnarray*} \gamma :I \Rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray*} \forall x\in I f(x)=f(x(0))+a\cdot (x- x(0))+\gamma (x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x(0)} (x-x(0)) = 0 \end{eqnarray*}$ und dann ist f´(x)=a.

Der Ausdruck $\begin{eqnarray*} f(x(0))+a \cdot (x-x(0)) \end{eqnarray*}$ stellt eine lineare Funktion dar und der addierte Ausdruck $\begin{eqnarray*} +\gamma(x) \end{eqnarray*}$ den "Rest". Bereits an dieser Stelle stelle ich mir die Frage: wie kann ihr mir das anhand einer Skizze versuchen, klar zu machen? Ist das anhand einer einfachen Skizze überhaupt möglich? Ist mit der linearen Funktion meine Tangente gemeint, die ich anstrebe? Und was ist dieser "Rest"?

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In einem ebook habe ich zum "Rest" folgende Erklärung/Erläuterung gefunden: Der Rest (also $\begin{eqnarray*} \gamma(x) \end{eqnarray*}$ ) gibt die Differenz zwischen dem Funktionswert $\begin{eqnarray*} f(x(0)+\Delta x) \end{eqnarray*}$ ) und dem Wert $\begin{eqnarray*} f(x(0))+f'(x(0))\Delta x \end{eqnarray*}$ der Tangente von f an der Stelle x(0) an. Leider hilft mir das wenig weiter.
Dazu meine Überlegungen:
Ok, was heißt differenzierbar? Differenzierbarkeit untersucht den Anstieg einer Funktion an einer Stelle x(0). Wie bestimme ich aber den Anstieg an einer Stelle? Wie ich den durchschnittlichen Anstieg einer Funktion bestimme, weiß ich: mit Hilfe des Differenzenquotientens. In der Skizze, also der Anstieg der Sekante im Intervall [x(0),x]. Um nun den Anstieg an einer konkreten Stelle des Graphen zu ermitteln, mache ich Folgendes: ich lasse mein x gegen mein x(0) laufen (also lasse ich die Schnittpunkte meiner Sekante immer näher zusammen laufen). Das heißt: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x(0)} \frac{f(x)-f(x(0))}{x-x(0)} \end{eqnarray*}$ . Und wenn dann da ein konkreter Wert f´(x(0)) existiert, ist die Funktion an der Stelle x(0) differenzierbar. Richtig? Oder scheitert es bereits hier am richtigen Verständnis?

So, wie bringe ich jetzt diese Überlegungen mit der Weißerstraßschen Zerlegungsformel zusammen?!

Ich hoffe ich konnte mein Verständnisproblem einigermaßen schildern und freue mich auf eure Antworten!

Willkommen im Matheboard!
Ich habe Deine drei Beiträge mal zusammengefasst und das LaTeX repariert.
Viele Grüße
Steffen

20.09.2019, 12:53

klarsoweit

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RE: Weierstraßsche Zerlegungsformel

Zitat:

Original von MatheFreak3112
Weierstraßsche Zerlegungsformel
Eine Funktion $\begin{eqnarray*} f: I \Rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist genau dann differenzierbar im Punkt $\begin{eqnarray*} x(0) \in I \end{eqnarray*}$ , wenn es ein $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und eine Funktion $\begin{eqnarray*} \gamma :I \Rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray*} \forall x\in I f(x)=f(x(0))+a\cdot (x- x(0))+\gamma (x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x(0)} (x-x(0)) = 0 \end{eqnarray*}$ und dann ist f´(x)=a.

Gemeint ist wohl eher dies:

$\begin{eqnarray*} \forall x\in I: f(x) = f(x_0) + a \cdot (x - x_0) + \gamma (x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} \frac{\gamma(x)}{x-x_0} = 0 \end{eqnarray*}$

Der Wert a wird auch als f'(x_0) bezeichnet.

Bei genauem Hinsehen ist diese Definition äquivalent zur bekannten Definition:

$\begin{eqnarray*} f'(x_0) := \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \end{eqnarray*}$ (sofern natürlich dieser Grenzwert existiert)

Zitat:

Original von MatheFreak3112
Der Ausdruck $\begin{eqnarray*} f(x(0))+a \cdot (x-x(0)) \end{eqnarray*}$ stellt eine lineare Funktion dar und der addierte Ausdruck $\begin{eqnarray*} +\gamma(x) \end{eqnarray*}$ den "Rest". Bereits an dieser Stelle stelle ich mir die Frage: wie kann ihr mir das anhand einer Skizze versuchen, klar zu machen? Ist das anhand einer einfachen Skizze überhaupt möglich? Ist mit der linearen Funktion meine Tangente gemeint, die ich anstrebe? Und was ist dieser "Rest"?

Ja, der Teil $\begin{eqnarray*} f(x_0) + a \cdot (x-x_0) \end{eqnarray*}$ ist die Tangente im Punkt (x_0, f(x_0)) . Der Rest ist dann einfach die Differenz der Tangente zur Funktion f, also: $\begin{eqnarray*} \gamma(x) := f(x) - f(x_0) - a \cdot (x-x_0) \end{eqnarray*}$

Das ganze Thema dient auch zur Vorbereitung der Differenzierbarkeit in mehrdimensionalen Räumen.

21.09.2019, 02:44

MatheFreak3112

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RE: Weierstraßsche Zerlegungsformel
@klarsoweit

Vielen vielen Dank! Das hilft mir weiter!

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