Simulation einer irrationalen Wahrscheinlichkeit

20.09.2019, 08:01

Dopap

Simulation einer irrationalen Wahrscheinlichkeit

Simulation eines Binomialversuches $\begin{eqnarray*} \Omega=\{Gewinn;Verlust\} \end{eqnarray*}$ mit den Wahrscheinlichkeiten $\begin{eqnarray*} \{p;1-p\} \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} p=0+\frac{b_1}{2}+\frac{b_2}{2^2}+\frac{b_3}{2^3} + \frac{b_4}{2^4}\cdots \, \text{mit}\, b_k\in \{0;1\}=(0.b_1b_2b_3b_4\cdots)_{(2)} \end{eqnarray*}$

die sicher berechenbare binäre Form derselben, zumindest ist die Folge der $\begin{eqnarray*} b_k \end{eqnarray*}$ anschreibbar und für die "Praxis" ist die Liste bis $\begin{eqnarray*} k=30 \end{eqnarray*}$ sicherlich ausreichend.

Zum Beispiel $\begin{eqnarray*} p=1-\frac 1e \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{3}} \end{eqnarray*}$ als irrationale Wahrscheinlichkeit.

Eine Laplace Münze $\begin{eqnarray*} \Omega=\{Kopf;Zahl\}, \,X_k=1 \, \text{wenn}\,\, \omega_k=Kopf \end{eqnarray*}$ , sonst $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ , wird solange (n) geworfen bis $\begin{eqnarray*} X_n\neq b_n \end{eqnarray*}$ ist.

Mit der Stopp- und Entscheidungsregel: Gewinn wenn $\begin{eqnarray*} X_n=0 \end{eqnarray*}$ ansonsten Verlust.

Intuitiv betrachtet definiert das eine ZufallsZahl $\begin{eqnarray*} z\,\, \text{zwischen 0 und 1} \end{eqnarray*}$
Wenn $\begin{eqnarray*} z<p \end{eqnarray*}$ dann wird mit Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ gewonnen.

Der Erwartungswert der Wurfdauer $\begin{eqnarray*} \mathbb E(n|p) \end{eqnarray*}$ ( oder doch $\begin{eqnarray*} \mathbb E(n)|p \end{eqnarray*}$ geschrieben ? ) ist mMn $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ und unabhängig von $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ ,
da Gedächtnislosigkeit vorliegt. Eigentlich doch recht flott Augenzwinkern

Sind die Schreibfiguren o.k ? und was gibt es rein fachlich zu sagen?

21.09.2019, 11:18

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Geht in Ordnung.

Zitat:

Original von Dopap
und für die "Praxis" ist die Liste bis $\begin{eqnarray*} k=30 \end{eqnarray*}$ sicherlich ausreichend.

Unterschätze mal nicht die Leistungsfähigkeit moderner Computer: $\begin{eqnarray*} 2^{30}\approx 10^9 \end{eqnarray*}$ Simulationen sind (wenn es kein all zu komplizierter Sachverhalt ist) da mit Multithreading etc. manchmal nur eine Sekunden- bzw. zumindest Minutensache. Habe ich (wenn ich mich recht erinnere) in so manchem Boardthread nachgewiesen. smile

21.09.2019, 11:48

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von HAL 9000
Geht in Ordnung.

na also, geht doch!

Zitat:

Original von Dopap
und für die "Praxis" ist die Liste bis $\begin{eqnarray*} k=30 \end{eqnarray*}$ sicherlich ausreichend.

wollt' ich gerade auf k=20 wegen echter handwerklicher Simulation kürzen, denn

k=30 bedeutet doch eine Wkt von $\begin{eqnarray*} \approx 10^{-9} \end{eqnarray*}$ dass er die ganze Liste benötigt. Ergo mit Wkt $\begin{eqnarray*} 1-1/e\approx 63\% \end{eqnarray*}$ dass er das in 1s erreicht.

Da sollte die binäre Zahl als Approximation von p deutlich länger sein. Das ist klar

22.09.2019, 12:31

rumar

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Simulation einer irrationalen Wahrscheinlichkeit
Hallo Dopap,

in deiner Frage ist mir zuerst der Ausdruck "irrationale Wahrscheinlichkeit" aufgefallen. Am Ende ist mir aber doch nicht klar, was die Frage dann wirklich mit der Irrationalität von p (im Gegensatz zu einem rationalen p-Wert) zu tun haben soll. Es kann natürlich durch keine Simulation und kein Experiment (mit endlich vielen Teilversuchen) verifiziert werden, dass die dahinter steckende Wahrscheinlichkeit tatsächlich einem irrationalen Wert entsprach.
Was war also die Idee dahinter ?

22.09.2019, 17:18

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

Simulation eines binomialer Zufallsversuchs mit den Ausfallwahrscheinlichkeiten $\begin{eqnarray*} \{\frac 1\pi ; 1-\frac 1\pi\} \end{eqnarray*}$ wäre etwas gefälliger aber zu lang gewesen.
Im Thread zuvor ging es um Simulation von Ausfällen mit rationaler Wkt.
Und jetzt um...

Konkret: teilt man man eine Fläche in parallele Linien im Abstand 2d und wirft Streichhölzer der Länge d zufällig darauf, dann hat der Schnitt mit einer Linie die Wkt $\begin{eqnarray*} \frac 1e \end{eqnarray*}$

Es geht darum - mangels Tisch,Linien und Streichhölern - das Ganze bequem mit einer fairen Münze zu simulieren.
Und die Simulation ist besser als das Original mitsamt seinen physikalischen Ungenauigkeiten.
Ich erinnere an IN oder OUT im Tennis. Augenzwinkern

Noch Eines: z.B. zu $\begin{eqnarray*} p=\frac {1}{\sqrt[3]{3}} \end{eqnarray*}$ fällt mir gerade kein Spielgerät ein verwirrt

22.09.2019, 19:10

rumar

Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Abend !

An das Beispiel mit den Streichhölzern, die man auf ein parallel liniertes Blatt wirft, habe ich auch gedacht. Meines Wissens steckt dabei aber im Term für die Schnitt-Wahrscheinlichkeit nicht $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ drin, aber die Kreiszahl $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ .
Simulationen können aber niemals exakter sein als das Material und die Beobachtungsmöglichkeiten, mit welchen man sie durchführt.
Nach meiner Ansicht müssen wir da einfach mit Mess- und Approximationsfehlern leben, was in der Praxis bestimmt auch nicht schlimm ist. Mittels Experimenten physikalischer oder numerischer Art ist eine Unterscheidung zwischen einem irrationalen oder einem (als Näherung in Frage kommenden) rationalen Wahrscheinlichkeitswert wohl einfach gar nicht möglich.

23.09.2019, 01:49

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

sorry verschusselt, p=1/Pi

Die Theorie der Streichhölzer liefert 1/pi . Da kommt ein realer Versuch aber aus genannten Gründen aber nicht heran.

Eine Münze vernünftig geworfen gehört zu den besten Laplace-Zufallsgeräten.
Und ist deshalb auch zur Simulation geeignet.
Oder anders gesagt: mit der Simulation kann man Pi beliebig genau bestimmen.

Sollte an p=1/2 irgendwelche Zweifel aufkommen, kann man immer noch p=1/2 mit dieser Münze erzwingen, wie in einem der vorigen Threads ausgeführt wurde. (verdächtiger Würfel -------> Laplace-Würfel als Münzersatz )

Also: die Simulation mit der Münze st eine Simulation des mathematischen Streichholz Versuchs.

In der Realität ist sowieso alles rational, da hast du recht.
Äh... also nicht immer, der Kauf eines bestimmten Kleides oder Schuhe kann auch irrationale Gründe haben Big Laugh

Neue Frage »

Antworten »

Simulation einer irrationalen Wahrscheinlichkeit

Verwandte Themen