ggT(a,b,c) und kgV(a,b,c) gegeben

21.09.2019, 15:50

Notoleon

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ggT(a,b,c) und kgV(a,b,c) gegeben

Meine Frage:
Die Aufgabe lautet:
"Welche Tripel natürlicher Zahlen a<b<c erfüllen ggT(a,b,c)=60 und kgV(a,b,c)=2520?"

Meine Ideen:
Ich habe keine Ahnung, wie ich das formal schnell lösen kann. Mein Ansatz war, dass ich die die Vielfachen von 60 aufgeschrieben habe und durch ausprobieren die folgenden Werte für a,b,c gefunden habe:

a=120
b=360
c=420

Aber dafür muss es doch einen schnelleren, effektiveren und besseren Weg geben. Kann mir da jemand helfen?

Edit (mY+): Der Titel war irreführend, deshalb wurde er geändert.

21.09.2019, 18:52

MaPalui

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Hallo,

wenn du hier ganz formell vorgehen möchtest, dann beginne mit den Berechnungswegen von ggT und kgV.
Seien also a,b,c jeweils dargestellt in Ihrer Primfaktorzerlegung, beispielsweise $\begin{eqnarray*} a=\prod\limits_{k=0}^n p_k^{\alpha_k} \end{eqnarray*}$ .
Wie erhalten wir nun ggT und kgV?

21.09.2019, 20:28

HAL 9000

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Zitat:

Original von Notoleon
Aber dafür muss es doch einen schnelleren, effektiveren und besseren Weg geben.

Vor allem sollte man das Problem erstmal vereinfachen:

Ansatz $\begin{eqnarray*} a=gx,b=gy,c=gz \end{eqnarray*}$ mit dem größten gemeinsamen Teiler $\begin{eqnarray*} g=60 \end{eqnarray*}$ ergibt teilerfremde Zahlen $\begin{eqnarray*} x<y<z \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \operatorname{kgV}(x,y,z)= 42=2\cdot 3\cdot 7 \end{eqnarray*}$ . (Man beachte den Unterschied zwischen "teilerfremd" und "paarweise teilerfremd", letzteres wird hier nicht gefordert.)

Die Primfaktoren 2,3,7 muss man nun auf die drei Zahlen $\begin{eqnarray*} x,y,z \end{eqnarray*}$ so verteilen, dass alle drei irgendwo dabei sind, aber kein Primfaktor in allen dreien zugleich enthalten ist - außerdem muss das $\begin{eqnarray*} x<y<z \end{eqnarray*}$ ja eingehalten werden! Es dürfen aber sehr wohl Primfaktoren in zwei der drei Zahlen zugleich vorkommen. Daher gibt es am Ende doch eine stattliche Anzahl Lösungen - wenn ich mich nicht verzählt habe, sind es stolze 32 Tripel (allein mit x=1 d.h. a=60 sind es 12 Tripel).

EDIT: Wieder so ein besch...er Crossposter, eine elende Seuche ist das. unglücklich

unglücklich

https://www.onlinemathe.de/forum/ggTabc60-und-kgVabc2520

22.09.2019, 07:34

IfindU

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Zitat:

Original von HAL 9000
Es dürfen aber sehr wohl Primfaktoren in zwei der drei Zahlen zugleich vorkommen. Daher gibt es am Ende doch eine stattliche Anzahl Lösungen - wenn ich mich nicht verzählt habe, sind es stolze 32 Tripel (allein mit x=1 d.h. a=60 sind es 12 Tripel).

Ich komme für x=1 auf deutlich weniger. Um $\begin{eqnarray*} x < y < z \end{eqnarray*}$ zu gewährleisten, muss dann $\begin{eqnarray*} 7 \end{eqnarray*}$ ein Faktor in $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ sein. Damit ist nur die Frage, was mit $\begin{eqnarray*} 2,3 \end{eqnarray*}$ passiert. Beide dürfen nicht wandern, da sonst $\begin{eqnarray*} x = y = 1 \end{eqnarray*}$ . Also komme ich hier auf 3 Möglichkeiten.

22.09.2019, 09:42

Leopold

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Zitat:

Original von HAL 9000
(Man beachte den Unterschied zwischen "teilerfremd" und "paarweise teilerfremd", letzteres wird hier nicht gefordert.)

$\begin{align*} x=1, \ y = 2 \cdot 7, \ z = 3 \cdot 7 \end{align*}$

geht zum Beispiel auch.

22.09.2019, 09:52

IfindU

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Natürlich! Danke Leopold!

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22.09.2019, 09:56

HAL 9000

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Und es geht auch $\begin{eqnarray*} x=2\cdot 3,y=2\cdot 7,z=3\cdot 7 \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zur Anzahl der Lösungen:

Es gibt jeweils 3 Permutationen von $\begin{eqnarray*} (1,1,p) \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} (1,p,p) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} p\in\{2,3,7\} \end{eqnarray*}$ , daraus ergeben sich in freier Kombination $\begin{eqnarray*} (3+3)^3 = 6^3 = 216 \end{eqnarray*}$ mögliche Tripel $\begin{eqnarray*} (x,y,z) \end{eqnarray*}$ teilerfremder Zahlen mit $\begin{eqnarray*} \operatorname{kgV}(x,y,z)=42 \end{eqnarray*}$ . Dabei können aber noch zwei der drei Zahlen einander gleich sein, und $\begin{eqnarray*} x<y<z \end{eqnarray*}$ ist auch nicht berücksichtigt. Widmen wir uns zunächst der ersten Frage:

Nennen wir die zwei gleichen $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ und den dritten Wert $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ , dann müssen $\begin{eqnarray*} u,v \end{eqnarray*}$ teilerfremd sein mit $\begin{eqnarray*} uv=42 \end{eqnarray*}$ . Die Anzahl solcher Tripel entspricht also der Teilerzahl von 42 - das sind 8 - multipliziert mit der Permutationszahl von $\begin{eqnarray*} (u,u,v) \end{eqnarray*}$ , das sind 3, insgesamt also 24.

Bleiben $\begin{eqnarray*} 216-24 = 192 \end{eqnarray*}$ Tripel übrig mit paarweise fremden $\begin{eqnarray*} x,y,z \end{eqnarray*}$ . Interessieren wir uns nur für die mit $\begin{eqnarray*} x<y<z \end{eqnarray*}$ , müssen wir diese Anzahl 192 durch die Permutationszahl $\begin{eqnarray*} 3!=6 \end{eqnarray*}$ dividieren, das ergibt dann jene gesuchte Anzahl 32.

22.09.2019, 13:08

Notoleon

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Vielen Dank für die Antwort! Ich werde mich da jetzt mal ransetzen. Hab die Aufgabe jetzt endlich verstanden smile

smile

22.09.2019, 13:13

Notoleon

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Danke für die ausführliche Antwort! Hat mir wirklich sehr geholfen! Sorry, dass ich die Frage noch in dem anderen Forum gepostet habe. Ich stand wirklich auf dem Schlauch und bin nahezu durchgedreht. Kommt nicht wieder vor smile

smile

22.09.2019, 13:16

Notoleon

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Irgendwie bin ich zu blöd, direkt auf eure Nachrichten zu antworten. Ich denke mal, dass ich auf "zitieren" und nicht auf "antworten" klicken muss. Ich bin euch allen auf jeden Fall unglaublich dankbar! Ihr habt mir sehr geholfen. Das hat micht echt gestresst...

22.09.2019, 14:04

HAL 9000

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Zitat:

Original von Notoleon
Sorry, dass ich die Frage noch in dem anderen Forum gepostet habe. [...] Kommt nicht wieder vor

Du kannst gern in mehreren Foren parallel posten - aber dann solltest du die beteiligten Foren über die jeweils anderen per Link informieren. Soviel Ehrlichkeit sollte sein, damit sich potentielle Helfer überall ein Bild davon machen können, was an Hilfe schon gepostet wurde.

22.09.2019, 16:30

rumar

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Kombinatorische Abzählung der Möglichkeiten
Ich komme auf insgesamt $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 8 \\ 3 \end{pmatrix} = 56 \end{eqnarray*}$ mögliche Tripel.

Jeder der drei unterschiedlichen Faktoren a,b,c muss (wegen der Teilbarkeit durch 60) die Primfaktoren 2,2,3,5 (in diesen vorliegenden Vielfachheiten) enthalten. Die Zahl 2520 = kgV(a,b,c) hat die Primfaktoren 2,2,2,3,3,5,7.
Zusätzlich zu den "obligatorischen" gemeinsamen Primfaktoren von a,b und c sind dies also zusätzliche Primfaktoren 2,3,7 (und zwar jeder davon genau einmal). Aus diesen lassen sich $\begin{eqnarray*} 2^3 = 8 \end{eqnarray*}$ unterschiedliche Produkte bilden, welche jeden dieser 3 Faktoren (zusätzlich zu den "obligatorischen") entweder enthalten oder nicht enthalten. Hier diese 8 Produkte:
1,2,3,6,7,14,21,42. Multipliziert man diese Zahlen alle mit 60, so erhält man die Auswahl der 8 Werte, die für a,b,c jeweils in Frage kommen:
60, 120, 180, ..... , 2520. Um nun Tripel (aus jeweils 3 unterschiedlichen dieser Zahlen) zu bilden, haben wir natürlich $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 8 \\ 3 \end{pmatrix} = 56 \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten.

Bemerkung: Was ich bestimmt habe, ist die Anzahl aller Tripel, welche aus Elementen der größten Menge M natürlicher Zahlen mit ggT(M)=60 und kgV(M)=2520 gebildet werden können.
Dies entspricht aber nicht der eigentlich gestellten Aufgabe.

22.09.2019, 16:44

Notoleon

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von Notoleon
Sorry, dass ich die Frage noch in dem anderen Forum gepostet habe. [...] Kommt nicht wieder vor

Du kannst gern in mehreren Foren parallel posten - aber dann solltest du die beteiligten Foren über die jeweils anderen per Link informieren. Soviel Ehrlichkeit sollte sein, damit sich potentielle Helfer überall ein Bild davon machen können, was an Hilfe schon gepostet wurde.

Okay, habe ich verstanden! Das war meine erste Frage in einem Forum. Kenne mich da noch nicht so aus. Wollte auf jeden Fall niemanden auf die Füße treten. Kommt nicht wieder vor smile

smile

Du hast mir auf jeden Fall sehr helfen können.

22.09.2019, 16:53

rumar

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(entfernt)

22.09.2019, 17:29

HAL 9000

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Freie Auswahl von 3 verschiedenen Werten aus {1,2,3,6,7,14,21,42} garantiert weder die Teilerfremdheit der drei ausgewählten Werte (z.B. bei 2,6,14) noch die Eigenschaft kgV = 42 (z.B. bei 1,2,3). Damit ist dieser Gedankengang offensichtlich falsch: Du erfasst zwar die 32 Lösungstripel

1,2,21
1,2,42
1,3,14
1,3,42
1,6,7
1,6,14
1,6,21
1,6,42
1,7,42
1,14,21
1,14,42
1,21,42
2,3,7
2,3,14
2,3,21
2,3,42
2,6,7
2,6,21
2,7,21
2,7,42
2,14,21
2,21,42
3,6,7
3,6,14
3,7,14
3,7,42
3,14,21
3,14,42
6,7,14
6,7,21
6,7,42
6,14,21

aber zusätzlich eben auch noch 24 Tripel, welche keine Lösung sind:

1,2,3
1,2,6
1,2,7
1,2,14
1,3,6
1,3,7
1,3,21
1,7,14
1,7,21
2,3,6
2,7,14
2,6,14
2,6,42
2,14,42
3,6,21
3,6,42
3,7,21
3,21,42
6,14,42
6,21,42
7,14,21
7,14,42
7,21,42
14,21,42

P.S.: Wenn man derart "offensiv" seine Idee bewirbt, dann sollte man sich die entstehenden 56 Tripel auch mal auf Gültigkeit ansehen...

22.09.2019, 19:30

rumar

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Es sieht so aus, dass ich die Aufgabe zuerst nicht richtig verstanden hatte. Ich habe nicht beachtet, dass sich ggT und kgV jeweils nur auf die einzelnen Tripel beziehen. Sorry

22.09.2019, 19:33

HAL 9000

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Zitat:

Original von rumar
Ich habe nicht beachtet, dass sich ggT und kgV jeweils nur auf die einzelnen Tripel beziehen.

Erstaunt1

Worauf sollen die sich denn sonst beziehen?

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