Flächeninhalte berechnen

21.09.2019, 16:36

Spitznamee

Flächeninhalte berechnen

Guten Tag,
kann mir bitte jemand bei folgender Aufgabe helfen [attach]49724[/attach] Und zwar bei Nummer d. Die Skizze sieht folgendermaßen aus [attach]49725[/attach] aber wie kann ich die 2 Flächeninhalte ausrechnen?
Grüße,
Spitznamee
EDIT: meinte die Aufgabe 11

21.09.2019, 17:14

rumar

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RE: Flächeninhalte berechnen
Aus der Zeichnung kann man vermuten, dass die Gerade k die beiden Dreiecksseiten BA und BC gerade halbiert. Ich würde mir da einmal (ausnahmsweise) diese Vermutung zunutze machen und die entsprechenden Seitenmittelpunkte berechnen, was sehr leicht geht. Im zweiten Schritt würde ich dann zeigen, dass die durch diese beiden Punkte gelegte Gerade mit k übereinstimmen muss. Parallel zur Grundseite AC ist sie als Mittelparallelee des Dreiecks ABC offensichtlich, und wenn sie dann auch noch den Punkt P trifft, ist alles klar.
Auch das Flächenteilverhältnis ist dann sogleich zu sehen, denn die 3 Mittelparallelen eines Dreiecks zerlegen dieses stets in 4 zueinander flächengleiche Teildreiecke.

Ob die Lehrkraft für diese Lösung Punkteabzüge macht (weil man nicht die ganze von ihr geplante Ochsentour durchmacht), weiß ich zwar nicht. Ich (als ehemaliger Mathelehrer) freute mich jedenfalls über Schüler, welche solche Lösungswege erkannten und nutzten.

21.09.2019, 17:19

klauss

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RE: Flächeninhalte berechnen

Zitat:

Original von Spitznamee
wie kann ich die 2 Flächeninhalte ausrechnen?

Das sollst und mußt Du nicht (wenngleich das mit entsprechendem Aufwand ginge). Gefragt ist nur das Verhältnis der beiden Flächen.
Ausgehend von Deiner Skizze würde es dafür genügen, den Schnittpunkt der Geraden k mit der Strecke AB (oder BC) zu bestimmen und dann Strahlensätze bzw. das Prinzip der zentrischen Streckung anzuwenden.

21.09.2019, 18:02

Spitznamee

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Versuche gerade, den Schnittpunkt von k und AB auszurechnen, aber bei mir kommt ne falsche Aussge. Keine Ahnung was ich falsch mache. [attach]49726[/attach]
EDIT: mir fällt gerade auf, dass in Gleichung I es eigentlich -2 - 5s = 2 + 2t und dementsprechend t = 2 - 2,5s heißen muss, aber die falsche Aussage in II und III bleibt trotzdem.

21.09.2019, 18:22

Spitznamee

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EDIT: in Gleichung I natürlich t = -2 -2,5s , hab mich wieder vertippt.

21.09.2019, 18:27

klauss

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Der Richtungsvektor bezüglich der Strecke AB ist bei mir (4 0 4).

21.09.2019, 18:45

Spitznamee

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Oh, stimmt. Hab versehentlich in die Aufgabe dadrüber geschaut. Dann liegt der Schnittpunkt bei (0/-1/1). Jetzt meintest du noch, dass man die Flächeninhalte nicht ausrechnen muss, um deren Verhältnis zu bestimmen. Das ist mir jetzt nicht so wirklich klar. Ich nenn mal den Schnittpunkt von k und AB den Punkt S, und den Schnittpunkt von k und BC den Punkt S'. Dann gälte ja:
$\begin{eqnarray*} BS/SA = BS'/S'C \end{eqnarray*}$ . Würde das etwa schon reichen, um die Flächeninhaltsverhältnisse zu bestimmen?

21.09.2019, 19:26

klauss

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An der Stelle ist natürlich schon das Wissen anzuwenden, dass sich Flächen mit dem Quadrat des linearen Vergrößerungsfaktors ändern.
Aus der Skizze läßt sich für die beiden Raumrichtungen ablesen:
$\begin{eqnarray*} \frac{AC}{BA}=\frac{SS'}{BS} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{BA}{BC}=\frac{BS}{BS'} \end{eqnarray*}$
Aus den Koordinaten von S kennen wir jetzt auch
$\begin{eqnarray*} \frac{BS}{BA}=m \end{eqnarray*}$

Dann gilt für die Flächen
$\begin{eqnarray*} \frac{A_{1} }{A_{1} +A_{2} } =m^{2} \end{eqnarray*}$

Die Gleichung mußt Du jetzt noch so umstellen, dass Du
$\begin{eqnarray*} \frac{A_{1}} {A_{2}} \end{eqnarray*}$
ablesen kannst.

21.09.2019, 19:45

Spitznamee

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Wie kann man denn $\begin{eqnarray*} A1/(A1+A2) = m^2 \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} A1/A2 \end{eqnarray*}$ umstellen?

21.09.2019, 20:08

klauss

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Tja den Moment erlebe ich bei Schülern immer wieder, wo innerhalb "fortgeschrittener" Themen plötzlich die überall erforderlichen elementaren Operationen nicht zur Hand sind.
Was ist zu tun?
Den Bruch wegkriegen, aus zwei $\begin{eqnarray*} A_{1} \end{eqnarray*}$ eins machen, $\begin{eqnarray*} A_{1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A_{2} \end{eqnarray*}$ auf verschiedene Seiten der Gleichung bringen, Quotient bilden. Das alles nur mit Grundrechenarten.
Du solltest es zumindest versuchen, im Erfolgsfall ist der Lerneffekt umso größer.

Welchen Wert hat hier $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ ?

21.09.2019, 20:37

Spitznamee

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Oh ja, okay, hab's raus. 3 A1 = A2 . m = Wurzel 8 : Wurzel 32

Danke für die Hilfe.

21.09.2019, 20:44

klauss

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$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{8} }{\sqrt{32} } =\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
Damit müssen wir das jetzt nicht mehr nur vermuten. Augenzwinkern

21.09.2019, 23:26

geoman

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Ganz so aufwändig ist der Weg über das konkrete Ausrechnen der Flächeninhalte nun auch nicht.
In der heutigen Zeit darf man ja in der Schule mit technischen Hilfsmitteln rechnen, wodurch schon mal die beiden Schnittpunkte von k mit den Dreiecksseiten recht schnell berechnet sind (die beiden LGS kann ja ein CAS oder GTR lösen).

Es reicht für die Aufgabenstellung im Übrigen nicht aus nur den jeweiligen Schnittpunkt zu nennen, man muss auch am Geradenparameter erklären, dass der Schnittpunkt auf der Strecke AB bzw. BC liegt und nicht irgendwo außerhalb des Dreiecks.

Wenn man die Kreuzproduktformel für den Flächeninhalt von Dreiecken kennt, dann sind die gesuchten Flächeninhalte auch schnell bestimmt.
Die Trapezfläche ergibt sich ja ebenso als Differenz zweier Dreiecksflächen.

Bei mir waren es nach den Schnittpunkten dann auch nur noch 3 Zeilen, bis ich das gesuchte Flächenverhältnis von 1:3 stehen hatte.

Ähnliche Dreiecke zu erkennen ist sicherlich nett als Transferleistung, ob ein Schüler das per se so im Repertoire hat, da bin ich mir nicht sicher.

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