Komplizierte Umformung

23.09.2019, 10:41

M.B

Komplizierte Umformung

Meine Frage:
V=pi*r^2*R*arcsin(((2*r*h-h^2)^(1/2))/r)-(((2*r*h-h^2)^(1/2))*(r-h))*pi*R

Wie kann man die Gleichung nach h umformen?
Alle übrigen Platzhalter sind Konstanten.

Schon mal danke für eure Hilfe!

Meine Ideen:
Mir fehlt leider jeglicher Ansatz.

23.09.2019, 10:49

klarsoweit

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RE: omplizierte Umformung
Ich mache es mal lesbarer, was aber die Sache nicht unbedingt verbessert:

$\begin{eqnarray*} V = \pi r^2 R \cdot arcsin \left( \frac{\sqrt{2rh-h^2}}{r} \right) - \sqrt{2rh-h^2} \cdot (r-h) \cdot \pi R \end{eqnarray*}$

Ich sehe da keine echte Chance. Sofern die anderen Variablen bekannt sind, wird man sich mit einem Näherungsverfahren behelfen müssen.

23.09.2019, 13:00

rumar

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Originalaufgabe ? Andere Variable !
Hallo M.B

Ich vermute, dass deine Gleichung komplizierter ausgefallen ist, als sie sein müsste. So habe ich versucht, einen geometrischen Zusammenhang zu finden, aus dem die Gleichung hätte entspringen können. So hat das Ganze vermutlich mit einem Kreissektor und/oder Kreissegment zu tun, ev. mit einem Teilvolumen eines Zylinders oder einer Kugel.
So denke ich, dass es hilfreich wäre, wenn du uns den genauen Originaltext der dahinter steckenden Geometrieaufgabe mitteilen würdest.

Nach einigen Überlegungen kann ich meine Vermutung noch konkretisieren, indem ich eine andere Größe als Hauptvariable vorschlage:

Betrachte einmal anstatt $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ den in der Formel auch zu erkennenden Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \quad sin(\alpha) = \frac{\sqrt{(2 r h - h^2)} }{r}\quad \end{eqnarray*}$ als die zu bestimmende Unbekannte.
Ich bin fast sicher, dass für diesen Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ eine recht überschaubare (allerdings auch nicht elementar lösbare) Gleichung entsteht !

23.09.2019, 17:43

HAL 9000

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Zitat:

Original von rumar
Ich bin fast sicher, dass für diesen Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ eine recht überschaubare (allerdings auch nicht elementar lösbare) Gleichung entsteht !

Dem muss man wohl zustimmen: $\begin{eqnarray*} V = \frac{\pi}{2}r^2R \left( 2\alpha - \sin(2\alpha) \right) \end{eqnarray*}$

Sieht nach einem Kreissegment (Radius $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ ) aus, das ins Dreidimensionale "gezogen" wird (Höhe $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ ). Wie nennt man so einen Körper, vielleicht "Kreissegmentzylinder" ? verwirrt

Für sehr sehr kleine $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ermöglicht das via Näherung $\begin{eqnarray*} \sin(x)\approx x-\frac{x^3}{6} \end{eqnarray*}$ die Approximation $\begin{eqnarray*} V \approx \frac{2\pi}{3}r^2R \alpha^3 \end{eqnarray*}$ .

23.09.2019, 18:19

rumar

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Lösung via Hilfswinkel
Hallo M.B

Meiner Bitte nach der Originalaufgabe bist du zwar nicht nachgekommen - trotzdem habe ich mit etwas Detektivarbeit (durch die schon angegebene Idee mit dem Hilfswinkel $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ) einen Lösungsweg gefunden:

(1.) Berechne die Konstante $\begin{eqnarray*} \qquad K\,:=\ \frac{V}{\pi R\ r^2} \end{eqnarray*}$

(2.) Bestimme durch ein Näherungsverfahren denjenigen Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ im Intervall $\begin{eqnarray*} \left[\, 0\ ..\ \frac{\pi}{2}\right] \end{eqnarray*}$ , für welchen die folgende Gleichung erfüllt wird:

$\begin{eqnarray*} \qquad \qquad \alpha - \frac{sin(2 \alpha)}{2}\ =\ K \end{eqnarray*}$

(3.) Berechne den gesuchten Wert von h nach der Formel:

$\begin{eqnarray*} \qquad \qquad h\,:=\ r \cdot\,\left(1 - cos(\alpha)\right) \end{eqnarray*}$

Um die sehr komplizierte ursprüngliche Gleichung mit der Unbekannten $\begin{eqnarray*} \ h\ \end{eqnarray*}$ kommt man also durch geschickte Wahl einer anderen Variablen elegant herum !

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