Konvergenzradius Potenzreihe (Defintion)

24.09.2019, 05:13

MatheFreak3112

Konvergenzradius Potenzreihe (Defintion)

Meine Frage:
Hallo,

ich habe eine Frage zur Definition des Konvergenzradius bzw. -bereichs von Potenzreihen. Mein Professor hat den Konvergenzbereich folgendermaßen defintiert: $\begin{eqnarray*} R = \left[0,+ \infty \right] \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{R} = inf_{m\geq 0} \left(sup_{n\leq m} \sqrt[n]{| a_{n} | } \right) \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} \left\{ \sqrt[n]{| a_{n} | } : n\geq m\right\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ eine Potenzreihe.

Wie darf ich diese Definition verstehen? Das Infimum vom Supremum?!

Meine Ideen:
Das Einzige, was ich zu dem Ausdruck "inf sup" im Netz gefunden habe, ist die e inf-sup-Bedingung oder auch Babuska-Brezzi-Bedingung,
Ladyzhenskaya-Babuska-Brezzi-Bedingung oder auch LBB-Bedingung. Aber das hat wohl wenig damit zu tun oder?!

Ich habe versucht mich dazu auch in anderen Skripten schlau zu machen und habe häufig folgende Definition des Konvergenzbereichs gefunden:

$\begin{eqnarray*} R = \frac{1}{\lim_{n \to \infty } sup \sqrt[n]{| a_{n} | } } = \frac{1}{\lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{| a_{n} | } } \end{eqnarray*}$

Diese Definition scheint mit verständlicher und einleuchtender. Allerdings möchte ich mich natürlich auf die Definition meines Professors beziehen. Sind diese beiden Definitionen des Konvergenzbereichs gleichbedeutend?

Ich hoffe es kann mir jemand weiter helfen. Vielen Dank!
LG

24.09.2019, 15:02

Leopold

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Bitte achte auf korrekte Ausdrücke und Schreibweisen und sinnvolle Aussagen. Man kann ja mal einen Schreibfehler machen, muß das aber nicht in jeder Zeile tun.

Zitat:

Original von MatheFreak3112
$\begin{eqnarray*} R = \left[0,+ \infty \right] \end{eqnarray*}$

Es soll wohl $\begin{align*} R \in [0,+\infty] \end{align*}$ heißen.

Zitat:

Original von MatheFreak3112
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{R} = inf_{m\geq 0} \left(sup_{n\leq m} \sqrt[n]{| a_{n} | } \right) \end{eqnarray*}$

Auch hier ein sinnentstellender Verdreher. Richtig wäre

$\begin{align*} \frac{1}{R} = \inf_{m \geq 0} \left( \sup_{n \geq m} \sqrt[n]{\left| a_n \right|} \right) \end{align*}$

Und was auf der rechten Seite steht, ist eine Möglichkeit, den Limes superior, den größten Häufungspunkt einer Folge, zu definieren. Damit könnte man ebensogut

$\begin{align*} \frac{1}{R} = \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| a_n \right|} \end{align*}$

schreiben. Im Kontext hier setzt man übrigens $\begin{align*} \frac{1}{0} = \infty \end{align*}$ und $\begin{align*} \frac{1}{\infty} = 0 \end{align*}$ .

Zitat:

Original von MatheFreak3112
wobei $\begin{eqnarray*} \left\{ \sqrt[n]{| a_{n} | } : n\geq m\right\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ eine Potenzreihe.

Das entbehrt des Sinns.

Zitat:

Original von MatheFreak3112
Das Einzige, was ich zu dem Ausdruck "inf sup" im Netz gefunden habe, ist die e inf-sup-Bedingung oder auch Babuska-Brezzi-Bedingung,
Ladyzhenskaya-Babuska-Brezzi-Bedingung oder auch LBB-Bedingung. Aber das hat wohl wenig damit zu tun oder?!

Von der Ladygaga-Babuschka-Brezel-Bedingung habe ich noch nie gehört (was nichts heißen muß). Was auch immer es mit der Sache hier zu tun haben könnte, man braucht es nicht.

Zitat:

Original von MatheFreak3112
$\begin{eqnarray*} R = \frac{1}{\lim_{n \to \infty } sup \sqrt[n]{| a_{n} | } } = \frac{1}{\lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{| a_{n} | } } \end{eqnarray*}$

Das zweite Gleichheitszeichen ist nur dann richtig, wenn der Wurzelausdruck konvergiert.

Zum weiteren Vorgehen würde ich dir empfehlen, dich zunächst um den Limes superior, den größten Häufungspunkt einer Folge, zu kümmern. Wenn du das verstanden hast, dann geht es weiter.

24.09.2019, 15:13

HAL 9000

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Zitat:

Original von Leopold
Ladygaga-Babuschka-Brezel-Bedingung

Das rettet mir den Tag. Big Laugh

Auf die Idee, lediglich "inf sup" in Google einzutippen, bin ich auch noch nicht gekommen.

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