Sigma-Algebra

24.09.2019, 06:24	Thomas007	Auf diesen Beitrag antworten »
Sigma-Algebra Hallo miteinander Wir haben in der Vorlesung gesehen, dass wenn X eine Menge ist und $\begin{eqnarray} B \subset P(X) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} X \in B \end{eqnarray}$ und wenn für jede Folge $\begin{eqnarray} (A_i)_{i \in \mathbb N} \end{eqnarray}$ in B gilt, dass auch $\begin{eqnarray} \cup_i A_i, \cap_i A_i \in B \end{eqnarray}$ . In diesem Fall ist B i. A. aber keine Sigma-Algebra. Wieso nicht? Danke für die Hinweise, Thomi
24.09.2019, 09:01	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sigma-Algebra Aus dem was du zu Vereinigung und Schnitt von Folgen geschrieben hast, werde ich nicht recht schlau. Was folgt da woraus? Abgesehen davon: Was ist, wenn B nur aus der nichtleeren Menge X besteht?
24.09.2019, 10:31	Thomas007	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sigma-Algebra Also die konkrete Aussage ist folgende: Sei X eine Menge und $\begin{eqnarray} B \subset P(X) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} X \in B \end{eqnarray}$ . Für jede Folge $\begin{eqnarray} (A_i) \end{eqnarray}$ in B seien auch $\begin{eqnarray} \cup_{i \in \mathbb N} A_i \in B, \ \ \cap_i A_i \in B \end{eqnarray}$ . Dann ist B i. A. keine Sigma-Algebra.
24.09.2019, 11:31	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Nehmen wir z.B. die reellen Zahlen und dort das Mengensystem, welches alle abzählbaren Vereinigungen von Intervallen (egal ob offen, halboffen oder geschlossen) enthält, dieses System erfüllt die von dir angegebene Eigenschaft, dass es gegenüber abzählbaren Vereinigungen bzw. Durchschnitten stabil ist. Dieses System ist aber KEINE Sigma-Algebra, weil es beispielsweise die Cantormenge nicht enthält, sondern nur deren Komplement.
24.09.2019, 11:46	Thomas007	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für das Beispiel!
24.09.2019, 21:40	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn man leere Indexmengen nicht zulässt, reicht bei nichtleerem X auch B={X} als Gegenbeispiel (das Komplement von X fehlt) Sonst geht es auch mit X={1,2,3,4,5} und B={{},{1,2},{4,5}{1,2,4,5,}X}, weil das Komplement von {1,2} fehlt
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