Äquivalenzrelation

24.09.2019, 11:54	Thomas007	Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenzrelation Hallo zusammen Sei G eine Untergruppe von SO(2), wobei $\begin{eqnarray} SO(2) = \{ M \in \mathbb R^{2 \times 2} \| M^TM = Id, det(M) = 1\} \end{eqnarray}$ Wieso ist auf $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \setminus \{0\} \end{eqnarray}$ durch y ~ x :<=> es existiert ein R aus G sodass x = Ry eine Äquivalenzrelation definiert? Reflexivität, Transitiviät und Symmetrie müssen ja gelten... Danke für die Erleuchtung.
24.09.2019, 12:53	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenzrelation Also Reflexivität sollte ja kein Problem sein.
24.09.2019, 13:19	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Alternative Herangehensweise Sei $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ eine beliebige Gruppe und $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ eine beliebige Menge. Eine Abbildung $\begin{eqnarray} f\colon G\times X\to X \end{eqnarray}$ , geschrieben als $\begin{eqnarray} f(g,x)=gx \end{eqnarray}$ , heißt Gruppenaktion, wenn $\begin{eqnarray} f(e,x)=x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(gh,x) = f(g,f(h,x)) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} g,h\in G \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x\in X \end{eqnarray}$ . Mit $\begin{eqnarray} e \end{eqnarray}$ ist das neutrale Element von $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ gemeint. Man definiert nun den Orbit von $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ als $\begin{eqnarray} Gx := \{gx\mid g\in G\} = \{y\mid\exists g\in G\colon y=gx\}. \end{eqnarray}$ Man kann zeigen dass alle Orbits disjunkt sind, also eine Zerlegung von $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ bilden. Nach einem elementaren Satz lassen sich die Orbits daher als Äquivalenzklassen betrachten. Das bedeutet, dass durch $\begin{eqnarray} x\sim y \iff y\in Gx \end{eqnarray}$ eine Äquivalenzrelation definiert ist. Expansion führt auf deine Bedingung $\begin{eqnarray} x\sim y \iff \exists g\in G\colon y=gx. \end{eqnarray}$ Hast du allgemein gezeigt, dass die Orbits disjunkt sind, brauchst du nur noch nachweisen, dass es sich bei $\begin{eqnarray} f\colon\mathrm{SO}(2)\times\mathbb R^2\setminus\{0\}\to\mathbb R^2\setminus\{0\} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(R,x):=Rx \end{eqnarray}$ um eine Gruppenaktion handelt, was aber trivial ausfällt.

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