Matrizenreechung

24.09.2019, 13:45

lea34

Matrizenreechung

Hallo. Ich habe eine Frage.

Sei X= QF+U.

Q ist eine Matrix und F und U sind Vektoren.

Wie kommt man dann von

$\begin{eqnarray*} Cov(X)=\frac{1}{n-1}X^TX \end{eqnarray*}$

auf $\begin{eqnarray*} QR_{FF}Q^T+\psi \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} R_{FF} \end{eqnarray*}$ ist die Korrelationsmatrix der Faktoren und $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ ist die Varianz von U. Außerdem ist die Cov(F,U)=0

24.09.2019, 14:35

HAL 9000

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Zitat:

Original von lea34
Sei X= QF+U.

Q ist eine Matrix und F und U sind Vektoren.

In dem Fall ist $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ein Vektor, sagen wir aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^d \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von lea34
Wie kommt man dann von

$\begin{eqnarray*} Cov(X)=\frac{1}{n-1}X^TX \end{eqnarray*}$

In dieser Formel kennzeichnet $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ eine konkrete Stichprobe (!) von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Vektoren aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^d \end{eqnarray*}$ , es ist eine Matrix $\begin{eqnarray*} X\in \mathbb{R}^{n\times d} \end{eqnarray*}$ . Dieses $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ hat mit dem obigen $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ nur mittelbar zu tun, du vergleichst hier Äpfel mit Birnen. unglücklich

Bring mal Ordnung in deine Bezeichner, irgendwas passt da nicht zusammen.

24.09.2019, 14:39

lea34

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Hmm Warum? Ich lade mal die Quelle hoch:

24.09.2019, 14:43

HAL 9000

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[attach]49736[/attach]

Links steht $\begin{eqnarray*} X^TX \end{eqnarray*}$ , rechts sieht es aber so aus, als hast du stattdessen in $\begin{eqnarray*} XX^T \end{eqnarray*}$ eingesetzt. Chaos pur - nochmal, bringe Ordnung in deine Vektoren und Matrizen und deren Dimensionen.

24.09.2019, 14:47

lea34

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Das habe ich nicht gemacht. Ist aus dem Internet..
Ist das etwa falsch oder wie ?

24.09.2019, 14:59

HAL 9000

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Ist es meine Schuld, wenn du hier mit verkorkst zusammengewürfeltem Material aufkreuzt? Nochmal: Wenn man $\begin{eqnarray*} X=QF+U \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} X^T X \end{eqnarray*}$ einsetzt, dann sollte dann stehen $\begin{eqnarray*} (QF+U)^T (QF+U) \end{eqnarray*}$ , während es bei dir oben mit $\begin{eqnarray*} (QF+U)(QF+U)^T \end{eqnarray*}$ weitergeht. Zur Erinnerung: Matrixmultiplikation ist NICHT kommutativ - i.a. stimmt bei Operandenvertauschung nicht mal mehr die Dimension!!!

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Ich sehe drei mögliche Varianten, wobei b),c) lediglich schreibtechnische Variationen ein- und desselben Sachverhalts sind:

a) Die Kovarianzmatrix eines Zufallsvektors $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ist gleich $\begin{eqnarray*} \operatorname{Cov}(X) = E\left[ XX^T \right] \end{eqnarray*}$ , sofern dieser Vektor zentriert ist (d.h. $\begin{eqnarray*} E[X]=0 \end{eqnarray*}$ ). Das würde zu deinem $\begin{eqnarray*} X=QF+U \end{eqnarray*}$ noch am ehesten passen.

b) Dein $\begin{eqnarray*} \operatorname{Cov}(X)=\frac{1}{n-1}X^TX \end{eqnarray*}$ macht hingegen nur Sinn, wenn $\begin{eqnarray*} X\in \mathbb{R}^{n\times p} \end{eqnarray*}$ , d.h., die $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Stichprobenvektoren der Dimension $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ sind Zeilenvektoren und werden untereinander in $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Zeilen angeordnet.

c) Ähnlich bei $\begin{eqnarray*} \operatorname{Cov}(X)=\frac{1}{n-1}XX^T \end{eqnarray*}$ , nur dass hier die $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Stichprobenvektoren Spaltenvektoren sind, die nebeneinander in $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Spalten angeordnet werden.

Für irgendeine Interpretationsvariante a),b) oder c) solltest du dich entscheiden. Dein "Mischmasch" ist jedenfalls unerträglich und keine Basis, auf der man irgendwie vernünftig aufbauen kann - der ins sich wohnende Widerspruch kommt bei nächster Gelegenheit um die Ecke und zerstört alles.

Meiner Vermutung nach geht es um a), womit wir dein $\begin{eqnarray*} \operatorname{Cov}(X)=\frac{1}{n-1}X^TX \end{eqnarray*}$ in die Tonne kippen können.

24.09.2019, 15:38

Lea34

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Komme ich mit a) trotzdem
Zu dem Ergebnis von der Quelle ?

24.09.2019, 17:08

HAL 9000

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$\begin{eqnarray*} \operatorname{Cov}(X) &=& E\left[ XX^T \right] = E\left[ (QF+U)\left(F^TQ^T+U^T\right) \right] = E\left[ QFF^TQ^T + UF^TQ^T + QFU^T + UU^T \right]\\ &=& QE\left[ FF^T\right]Q^T + E[U]E\left[F^T\right]Q^T + QE[F]E\left[U^T\right] + E\left[ UU^T \right] = Q\operatorname{Cov}(F) Q^T + 0 + 0 + \operatorname{Cov}(U) \end{eqnarray*}$

Deine Bezeichnungen sind etwas inkonsitent: Einerseits schreibst du $\begin{eqnarray*} \operatorname{Cov}(X) \end{eqnarray*}$ für die Kovarianzmatrix von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ , andererseits für die Kovarianzmatrizen von $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ stattdessen $\begin{eqnarray*} \operatorname{Var}(F) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \operatorname{Var}(U) \end{eqnarray*}$ - nur weil die beiden Diagonalmatrizen sind und damit die darin enthaltenen Komponentenkovarianzen gleich Null sind? Ist für mich kein triftiger Grund, daher hab ich die Schreibweise mal vereinheitlicht.

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