Lagrange Verfahren

24.09.2019, 20:51	Der_Gourmet	Auf diesen Beitrag antworten »
Lagrange Verfahren Edit (mY+): Hilfeersuchen aus dem Titel entfernt. Bitte davon abzusehen! Hallo alle zusammen, kann mir jemand bitte das Lagrange Verfahren genauer erklären. Ich habe mir mehrere Videos und mein Skript dazu angeguckt, aber ich habe das verfahren immer noch nicht verstanden. Soweit ich es verstanden habe muss man die Lagrange Funktion aufstellen und diese dann nach den Variablen+Lamda jeweils nach 0 ableiten. Also hat man eine Fuktion I nach x abgeleitet II nach y abgeleitet III nach Lamda abgeleitet Danach setzt man die Funktion I=II und und versucht das Lamda zu eliminieren, dabei kenne ich die Methode das Additionsverfahren anzuwenden. Gibt es auch noch andere? Danach bekomme ich die Gleichung IV und stelle die nach x oder y um? Keine Ahnung wie ich da weiter verfahren muss denn in einem Video wird die Gleichung faktorisiert in meinen Übungsblättern wird nach x oder y umgestellt. Also wie ihr sieht habe ich wirklich keine Ahnung was man da machen muss. Es wäre wirklich sehr hilfreich falls mir jemand mal das Verfahren erklären könnte. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Außerdem kann mir jemand bitte diese Aufgabe erklären und wie die Nebenfunktion zustande kommt? Ein Großhandel hat 3 ha Fläche von der Stadt zur Verfügung gestellt bekommen, um seinen Supermarkt betreiben zu können. Das Grundstück befindet sich der Innenstadt, also ist keine Erweiterung möglich. "Das Grundstück ist eine rechteckige Fläche" Wie groß müssen die Parkplatzfläche p und die Verkaufsfläche v sein, damit das Unternehmen seinen Nutzen N aus der Gesamtfläche maximiert? N(p,v)= p^(1/3)*v^(2/3) dabei wurde die Nebenbedinung 2-p-v=0 aufgestellt, jedoch verstehe ich nicht wieso p+v=2 ist müsste nicht die Nebenbedinung p+v=3 sein, wegen den 3 Hektar? mit freundlichen Grüßen Der_Gourmet
25.09.2019, 00:45	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Anstatt in der Gleichung III nach $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ abzuleiten, kann man die NB (Nebenbedingung) direkt anschreiben, sie ist ja die Ableitung nach $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ , es ist dasselbe! Und die Ableitungen bei den Gleichungen I und II sind natürlich Null zu setzen! Essentiell ist zunächst das Aufstellen der Lagrange-Funktion (bei 2 Variablen mit 1 NB). Lautet die Funktion f(x,y) und die Nebenbedingung g(x,y) = 0, so ist die Lagrange-Funktion $\begin{eqnarray} L(x,y,\lambda) = f(x,y) + \lambda \cdot g(x,y) \end{eqnarray}$ (das Vorzeichen vor dem $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ ist frei wählbar, darf also auch ein Minus sein) Wichtig: Neben dem $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ steht die auf Null* gebrachte Nebenbedingung! Zum Beispiel: Also, wenn die Fläche wirklich 3 ha beträgt, so git natürlich die NB $\begin{eqnarray} 3 - p - v = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} L(p, v, \lambda) = p^{\frac 1 3}v^{\frac 2 3} + \lambda(3-p-v) \end{eqnarray}$ ------------------------------------------------- somit ergibt sich $\begin{eqnarray} (1) \ \frac {\partial L}{\partial p} = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (2) \ \frac {\partial L}{\partial v} = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (3) \ 3 - p - v = 0 \end{eqnarray}$ -------------------------------- $\begin{eqnarray} (1) \ \frac 1 3p^{-\frac 2 3}v^{\frac 2 3} - \lambda = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \ldots \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \ldots \end{eqnarray}$ ------------------------------ Ergänze jetzt bitte selbst zu einem vollständigen System! Beachte, dass bei der partiellen Ableitung nach einer Variablen alle anderen Variablen als konstant zu betrachten sind! Aus Gleichung (1) und Gleichung (2) lässt sich $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ sofort eliminieren! Mit Gleichung (3) entsteht dann ein System mit 2 Gleichungen in den beiden Variablen p und v [Kontrollergebnis: v = 2p, p = 1, v = 2] (*) Bei 3 Variablen sind (zur Eindeutigkeit) demgemäß 2 Nebenbedingungen erforderlich. mY+

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