Prüfziffernberechnung

25.09.2019, 12:14

MaPalui

Prüfziffernberechnung

Hallo liebe Leute smile

Mir ist da heute etwas eingefallen:
Ich wollte gerne mal wissen, nach welchem System unsere Matrikelnummern vergeben werden.
Ein Prof sagte mir, die siebte und damit letzte Stelle ist die Prüfziffer. Die ersten sechs Stellen werden einer Wertigkeit entsprechend aufaddiert und das Ergebnis modulo 10 gerechnet. Die ergibt die Prüfziffer.
Außerdem war er der Meinung, die Wertigkeiten wären bei den Stellen 1 und 4, 2 und 5 sowie 3 und 6 jeweils gleich, er wusste sie aber nicht mehr.

Nun habe ich mich gefragt, wieviele Möglichkeiten gibt es denn, die das ganze erfüllen verwirrt

Die Frage lautet also:
Seien $\begin{eqnarray*} z_i,n \in\mathbb Z / 10\mathbb Z, \forall i\in\{1,2,3,4,5,6\} \end{eqnarray*}$ .
Wieviele Tripel $\begin{eqnarray*} (a,b,c) \end{eqnarray*}$ erfüllen $\begin{eqnarray*} a(z_1 + z_4) +b(z_2 + z_5) + c(z_3+z_6) \equiv n\mod10 \end{eqnarray*}$

Mein Ansatz:
Ich kann die Summen doch substituieren. Sagen wir, $\begin{eqnarray*} z_1 + z_4 = z_a, z_2 + z_5 = z_b, z_3 + z_6 = z_c \end{eqnarray*}$ .
Erhielte ich nämlich am Ende die Lösungstripel, dann könnte ich die einzelnen $\begin{eqnarray*} z_a, z_b, z_c \end{eqnarray*}$ doch einfach aus zwei Summanden zusammensetzen.

Aber für mehr fehlt mir leider der richtige Blick.
Oder kann man das so gar nicht lösen? Das würde mich deshalb wundern, weil ich die möglichen Lösungen ja mit einer for-schleife (sehr schnell sogar?) ermitteln könnte.

Freue mich auf eure Ideen smile

LG
Maren

25.09.2019, 16:34

HAL 9000

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RE: Prüfziffernberechnung

Zitat:

Original von MaPalui
Nun habe ich mich gefragt, wieviele Möglichkeiten gibt es denn, die das ganze erfüllen verwirrt

Sehr, sehr viele:

Betrachten wir zunächst mal den einfachen Fall, dass wenigstens eine der drei Zahlen $\begin{eqnarray*} z_1+z_4,z_2+z_5,z_3+z_6 \end{eqnarray*}$ teilerfremd zu 10 ist, o.B.d.A. sei das $\begin{eqnarray*} z_1+z_4 \end{eqnarray*}$ . Dann können wir $\begin{eqnarray*} b,c \end{eqnarray*}$ beliebig wählen, und darauf aufbauend ist dann

$\begin{eqnarray*} a = (n-b(z_2+z_5)-c(z_3+z_6))\cdot (z_1+z_4)^{-1}\bmod 10 \end{eqnarray*}$

eindeutig festgelegt. Das wären demnach modulo 10 betrachtet genau $\begin{eqnarray*} 10^2 = 100 \end{eqnarray*}$ mögliche Tripel $\begin{eqnarray*} (a,b,c) \end{eqnarray*}$ (darunter sind dann aber auch solche mit möglicherweise Wert 0 für ein oder mehrere der drei Parameter!!!).

Gibt es keinen solchen zu 10 teilerfremden Wert unter den drei genannten Zahlen, dann wird die Sache etwas komplizierter - auch machbar, aber das will ich jetzt nicht vollständig ausbreiten, wird etwas länglich...

Die eigentlich interessierende Frage ist m.E. ja auch eher, wenn du nicht nur eine, sondern genügend viele Matrikelnummern vorgegeben hast, und aus dieser ganzen Information dann das (hoffentlich eindeutig ermittelbare) Tripel $\begin{eqnarray*} a,b,c \end{eqnarray*}$ bestimmen willst, nicht wahr? Dabei kommt es nicht nur drauf an, wie viele solche Matrikelnummern du da als Information hast, es müssen die "richtigen" sein um das nötige Informationsspektrum abzudecken - d.h., richtig ausgewählt genügen drei, der Rest ist dann redundant.

28.09.2019, 13:26

MaPalui

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Hi HAL 9000,

danke sehr für deine informative Antwort.
In der Tat sollte die Frage auf die von die gestellte herauslaufen Augenzwinkern

Wenn ich deine Ausführung richtig verstehe, genügen mir also nicht drei beliebige Matrikelnummern.

Das würde ich gerne verstehen.
Derzeit versuche ich, das ganze aufzubohren, also ein Skript über eine Sammlung von Matrikelnummern laufenzulassen.
Das dient aber mehr dem Verständnis der Programmiersprache Augenzwinkern

Was an Theorie dahintersteckt würde ich gerne herausfinden.
Ich setze mich damit nochmal auseinander.

28.09.2019, 16:48

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Schreibt man die Ziffern der Matrikelnummer und die gesuchten Gewichte als Vektorkomponenten, dann ist die Prüfsumme durch das Skalarprodukt $\begin{eqnarray*} m\cdot g \bmod 10 \end{eqnarray*}$ gegeben. Schreibt man sich mehrere Matrikelnummern als Zeilen in eine Matrix M, dann bekommt man also ein LGS $\begin{eqnarray*} Mg=p \bmod 10 \end{eqnarray*}$ dem man - behutsam - mit Gauß zuleibe rücken kann.

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