Ableitung und Integrale physikalisches Verständnis

25.09.2019, 16:07

einsundzwei

Ableitung und Integrale physikalisches Verständnis

Meine Frage:
Hallo, ich bin mittlerweile in der Uni angekommen und habe festgestellt, dass ich zwar weiß, wie man Ableitungen und Integrale nutzt und mit ihnen rechnet, jedoch verstehe ich oft den Hintergrund nicht ganz und kann somit Aufgabenstellungen schlechter bearbeiten. Ich hoffe ihr könnt mir helfen zu verstehen, was dahinter wirklich passiert um es auf beliebige Beispiele anwenden zu können.

1. Ableitungen:

Ich hatte heute eine Aufgabe, in dem ein Behälter von unten gekühlt wird und oberhalb Wasser ist. Das System wurde eindimensional von unten nach oben betrachtet. x war die Eisdicke, die sich unten gebildet hat. Die Änderungsrate (Zunahme der Eisdicke) wurde also über dx/dt angegeben.
1.1 Jetzt ist eine Frage für mich, wieso man dort eine Ableitung benutzt? Warum nutzt man nicht wie im Physikunterricht x/t?
1.2 Eine zweite Frage würde mich dazu interessieren. Man kann ja auch zum Beispiel die Temperaturänderung über den Radius eines Zylinders mit einer Ableitung über dT/dr angeben. Was kann man alles nach unten in die Ableitung schreiben? Es machen prinzipiell ja nur wenige Sachen wie Zeit oder Strecke Sinn. Kann ich das nicht theoretisch nach allem ableiten? Wie wären dann so andere Fälle zu verstehen?

2. Integrale:

Generell weiß ich, dass Integrale die Fläche unter einer Funktion innerhalb der Integralgrenzen angeben. Wenn man die Geschwindigkeit über die Zeit integriert, entspricht die Fläche der zurückgelegten Strecke.
2.1 Warum kann ich hier nicht einfach v*t=s rechnen?
2.2 Wie kann man Ausdrucksweisen wie \int_{a}^{b} \! f(x) \, dx = \int_{0}^{t} \! 0 \, dt verstehen? Am Ende steht dann da mit Umformung t=...
Warum nutzt man in diesem Fall Integrale?

Danke!

Meine Ideen:
1.1: Ich weiß nur, dass es dammit zusammenhängt, dass Funktionen konstant sind oder nicht.
1.2: -
2.1: Hat das auch hier was mit konstanten bzw. nicht konstanten Funktionen zu tun?
2.2: -

25.09.2019, 17:24

Mathe-Novize

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RE: Ableitung und Integrale physikalisches Verständnis

Zitat:

Original von einsundzwei
Hallo, ich bin mittlerweile in der Uni angekommen und habe festgestellt, dass ich zwar weiß, wie man Ableitungen und Integrale nutzt und mit ihnen rechnet, jedoch verstehe ich oft den Hintergrund nicht ganz und kann somit Aufgabenstellungen schlechter bearbeiten.

Bevor ich überhaupt auf deine Fragen eingehe, kann ich dir gleich zu Beginn (dieses Posts, aber auch deines Studiums) eingehend raten: lies Bücher! Und lies Bücher von unterschiedlichen Autoren. Wenn du ein bestimmtes Themengebiet nicht ganz durchdringst, dann scheue nicht den Gebrauch eines guten Buches, denn kein Youtube-Video à la Daniel Jung und keine kurz beantwortete Frage in einem Forum kann den didaktischen Faden eines Fachbuches ersetzen, lediglich ergänzen. Manche Autoren liegen einem mehr, manche eher weniger, das hängt natürlich auch vom Leser und dem Lernmodus desjenigen ab. Deshalb auch der Rat, verschiedene Autoren zu einem Themengebiet heranzuziehen.

Da ich nicht weiß, was genau du studierst, kann ich dir natürlich nicht aus jedem Fachgebiet ein Standardwerk empfehlen, aber zu soetwas essentiellem wie der Differential- und Integralrechnung findet sich in jedem Gebiet ein gutes Standardwerk, seien es technische Fächer, Volks-/Marktwirtschaft oder dergleichen. Für meinen Fall (Technische Informatik) habe ich sehr häufig im Standardwerk von Lothar Papula zu verschiedensten mathematisch-technischen Gebieten nachgelesen.

Zitat:

Original von einsundzwei
1.1 Jetzt ist eine Frage für mich, wieso man dort eine Ableitung benutzt? Warum nutzt man nicht wie im Physikunterricht x/t?

Wie du in deiner Vermutung schon gesagt hast, hat es damit zu tun, dass die meisten Dinge nicht linear ablaufen. Vieles lässt sich in guter Näherung linearisieren, weshalb man in der Schule z.B. in Physik bei der Berechnung der Durchschnittsgeschwindigkeit zunächst von einer konstanten Geschwindigkeit auf der gesamten Strecke ausgeht oder analog eben auch mit konstanten Beschleunigungen. Aber solche Annahmen bilden die Realität eben nur sehr bedingt ab. Viel häufiger möchte man genau wissen, wie die momentane Änderung zweier Größen zueinander aussieht. Und das ist dann eben die Ableitung, die man in der Schule einfach nur als "die Steigung" einer Kurve kennenlernt.

Zitat:

Original von einsundzwei
1.2 Eine zweite Frage würde mich dazu interessieren. Man kann ja auch zum Beispiel die Temperaturänderung über den Radius eines Zylinders mit einer Ableitung über dT/dr angeben. Was kann man alles nach unten in die Ableitung schreiben? Es machen prinzipiell ja nur wenige Sachen wie Zeit oder Strecke Sinn. Kann ich das nicht theoretisch nach allem ableiten? Wie wären dann so andere Fälle zu verstehen?

Du kannst theoretisch nach jeder Variable, de in deiner Funktion vorkommt, ableiten. Wird auch genau so gemacht, Stichwort "partielle Ableitungen" (je nach Studienfach wird dir das begegnen oder auch nicht). Mit der Ableitung suchst du ja letztendlich danach, wie sehr sich eine Größe ändert in Abhängigkeit zu einer unendlich kleinen Änderung einer anderen Größe. Nach was du dann ableitest, hängt dann natürlich vom jeweiligen Problem ab. Manche Ableitungen sind physikalisch sehr gut verständlich, andere entziehen sich der Vorstellungskraft eher. Bei Geschwindigkeiten suchst du z.B. nach der Änderungsrate von Strecke pro Zeit. Bei der Beschleunigung entsprechend dann nach der Änderungsrate von Geschwindikeit (was ja schon $\begin{eqnarray*} \frac{m}{s} \end{eqnarray*}$ ist) pro Zeit (wird dann zu $\begin{eqnarray*} \frac{m}{s}\cdot\frac{1}{s} = \frac{m}{s^2} \end{eqnarray*}$ ). Dementsprechend lassen sich bestimmte Ableitung sehr gut interpretieren, wie im Falle von Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung oder Impuls. Bei anderen Problemen gibt es dann nicht unbedingt mehr einen Namen für diese Ableitung und man muss mit der mathematischen Definition leben.

Zitat:

Original von einsundzwei
2. Integrale:

Generell weiß ich, dass Integrale die Fläche unter einer Funktion innerhalb der Integralgrenzen angeben. Wenn man die Geschwindigkeit über die Zeit integriert, entspricht die Fläche der zurückgelegten Strecke.
2.1 Warum kann ich hier nicht einfach v*t=s rechnen?

Selbe Begründung eigentlich wie beim Ableiten. Wie soll es auch anders sein, nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist ja das eine die Umkehrung des anderen. Bevor ich hier groß rumlamentiere, rate ich dir, dich am besten eingehend mit dem Konzept des Infinitesimalen zu beschäftigen, damit du eine bessere Vorstellung davon bekommst, was beim Integrieren eigentlich aufsummiert wird und woher überhaupt diese Schreibweise mit dem Integralzeichen eigentlich kommt und was dieses $\begin{eqnarray*} dx \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} dt \end{eqnarray*}$ darin verloren haben. Im Übrigen nennt man die Schreibweise, die man in der Schule beim Ableiten kennenlernt ( $\begin{eqnarray*} f^\prime \end{eqnarray*}$ ), Leibniz-Schreibweise und die mit dem $\begin{eqnarray*} \frac{df}{dx} \end{eqnarray*}$ die Netwon-Schreibweise, welche ich persönlich auch bevorzuge, weil sie einem bei jedem Mal verdeutlicht, was da eigentlich immer passiert.

25.09.2019, 17:28

HAL 9000

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RE: Ableitung und Integrale physikalisches Verständnis
Ok, Mathe-Novize ist auf einen Gutteil deiner Fragen eingegangen, deswegen wirkt das folgende etwas wiederholend - ich überarbeite jetzt aber nicht meinen Beitrag wegen eines Beitrags, der etwas schneller war. smile

Zitat:

Original von einsundzwei
1.1 Jetzt ist eine Frage für mich, wieso man dort eine Ableitung benutzt? Warum nutzt man nicht wie im Physikunterricht x/t?

Die Eisdicke $\begin{eqnarray*} x(t) \end{eqnarray*}$ ist eine Funktion der Zeit. Wir gehen dabei von vorherein nicht von irgendeiner Annahme über die Art dieses funktionalen Zusammenhangs aus (außer vielleicht sowas allgemeines wie Stetigkeit bzw. Differenzierbarkeit bzgl. Zeit $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ ).

Sowas wie der bloße Quotient x/t macht allenfalls Sinn bei linearen Zusammenhängen $\begin{eqnarray*} x(t) = a\cdot t \end{eqnarray*}$ , aber von einem solchen ist hier nicht auszugehen. Generell arbeitet man mit der momentanen Änderungsrate, und die ist nun man dx/dt.

Und das "wie im Physikunterricht" gilt vielleicht für Physikunterricht an Schulen in niedrigeren Klassen. Die wirkliche Physik bedient sich selbstverständlich auch der Ableitung.

Zitat:

Du redest also über sowas wie $\begin{eqnarray*} \frac{\dd^2 T}{\dd r ~ \dd t} \end{eqnarray*}$ : Dieser Term gibt die Änderungsrate der Temperatur sowohl über die Radialrichtung als auch die Zeit an. Physikalische Maßeinheit dieser Größe ist dann übrigens $\begin{eqnarray*} K~m^{-1}~s^{-1} \end{eqnarray*}$ (in Worten: Kelvin pro Meter und Sekunde).

Wenn du nach Parametern ableitest, von denen deine Größe nicht abhängt, darfst du das natürlich gern tun - darfst dich dann nur nicht wundern, wenn diese Ableitung gleich Null ist. Augenzwinkern

Zitat:

Original von einsundzwei
2.1 Warum kann ich hier nicht einfach v*t=s rechnen?

Selbe Begründung wie bei 1.1: Deine verengte Betrachtung auf den linearen Fall ist nicht brauchbar für den allgemeinen Fall.

Zitat:

Original von einsundzwei
2.2 Wie kann man Ausdrucksweisen wie $\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b} \! f(x) \, dx = \int_{0}^{t} \! 0 \, dt \end{eqnarray*}$ verstehen? Am Ende steht dann da mit Umformung t=...

Mir ist nicht ganz klar, was das jetzt soll??? Jedenfalls ist offenkundig $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{t} \! 0 \, dt = 0 \end{eqnarray*}$ , falls das überhaupt mit deiner Frage was zu tun hat.

25.09.2019, 18:45

Mathe-Novize

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RE: Ableitung und Integrale physikalisches Verständnis

Zitat:

Im Übrigen nennt man die Schreibweise, die man in der Schule beim Ableiten kennenlernt ( $\begin{eqnarray*} f^\prime \end{eqnarray*}$ ), Leibniz-Schreibweise und die mit dem $\begin{eqnarray*} \frac{df}{dx} \end{eqnarray*}$ die Netwon-Schreibweise, welche ich persönlich auch bevorzuge, weil sie einem bei jedem Mal verdeutlicht, was da eigentlich immer passiert.

An dieser Stelle möchte ich gerne meinen eigenen Beitrag korrigieren. Selbstverständlich ist $\begin{eqnarray*} \frac{\text{d}f}{\text{d}x} \end{eqnarray*}$ die Leibniz-Notation, $\begin{eqnarray*} f^\prime \end{eqnarray*}$ ist die sogenannte Lagrange-Notation. Daher bevorzuge ich die Leibniz-Notation, nicht die von Newton. Diese wäre nämlich $\begin{eqnarray*} \dot{f} \end{eqnarray*}$ und ist meistens in der Physik anzutreffen. Der Punkt kennzeichnet dabei die Ableitung nach der Zeit, da man in der Physik meistens mit Größen zu tun hat, die von der Zeit abhängen.

26.09.2019, 15:34

einsundzwei

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Erstmal vielen vielen Dank für eure schnellen und ausführlichen Antworten.

Zu 2.2:

Ich wollte natürlich das so schreiben. Da habe ich mich vertan.

\int_{0}^{t} \! 1 \, dt = t

Ich wollte die Frage allgemein zu solchen Aufgabentypen stellen. Man setzt zwei Funktionen gleich, welche dann die Form besitzen: f(x) = m* \frac{x}{t} und macht dann "Trennen der Variablen". Dann steht dort 1/m * \int_{0}^{t} \! 1 \, dt = \int_{a}^{b} \! 1/f(x) \, dx

Ich wollte hier nur wissen, wieso ich hier Integrale nutze.

An Mathe-Novize:
Kannst du mir gute Bücher empfehlen, die dieses Thema noch weiter behandeln? Also zum Verständnis von Integralen und Ableitungen vor einem physikalischen Hintergrund. Gerade das finde ich sehr interessant und würde mich gerne weitergehend fortbilden. Ich bevorzuge das Internet ja eben als Wissenquelle eben deswegen, weil es so einfach und unkompliziert verfügbar ist. Aber wenn du gute Bücher kennst, würde ich mir die auch mal besorgen.

Zu deiner Aussage:
"Selbe Begründung eigentlich wie beim Ableiten. Wie soll es auch anders sein, nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist ja das eine die Umkehrung des anderen. Bevor ich hier groß rumlamentiere, rate ich dir, dich am besten eingehend mit dem Konzept des Infinitesimalen zu beschäftigen, damit du eine bessere Vorstellung davon bekommst, was beim Integrieren eigentlich aufsummiert wird und woher überhaupt diese Schreibweise mit dem Integralzeichen eigentlich kommt und was dieses dx oder dt darin verloren haben."

Meinst du damit die unendlich schmalen Rechtecke unter einer Funktion, die sich dann dem Flächeninhalt annähern?

26.09.2019, 16:46

Mathe-Novize

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Zitat:

Original von einsundzwei
Erstmal vielen vielen Dank für eure schnellen und ausführlichen Antworten.

Zu 2.2:

Ich wollte natürlich das so schreiben. Da habe ich mich vertan.
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{t} \! 1 \, dt = t \end{eqnarray*}$
Ich wollte die Frage allgemein zu solchen Aufgabentypen stellen. Man setzt zwei Funktionen gleich, welche dann die Form besitzen: $\begin{eqnarray*} f(x) = m \cdot \frac{x}{t} \end{eqnarray*}$ und macht dann "Trennen der Variablen". Dann steht dort $\begin{eqnarray*} \frac{1}{m} \cdot \int_{0}^{t} \! 1 \, dt = \int_{a}^{b} \! \frac{1}{f(x)} \, dx \end{eqnarray*}$

Ich wollte hier nur wissen, wieso ich hier Integrale nutze.

Das sagt mir gerade nichts. $\begin{eqnarray*} \frac{1}{m} \cdot \int_{0}^{t} \! 1 \, dt = \int_{a}^{b} \! \frac{1}{f(x)} \, dx \end{eqnarray*}$ wäre ja einfach nur $\begin{eqnarray*} \frac{t}{m} = \bigl.F(x)\bigr|_{a}^{b} = F(b) - F(a) \end{eqnarray*}$ wobei man an dieser Stelle nichts über die Stammfunktion sagen können, weil wir den Typ von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nicht kennen.

Zitat:

Original von einsundzwei
Kannst du mir gute Bücher empfehlen, die dieses Thema noch weiter behandeln? Also zum Verständnis von Integralen und Ableitungen vor einem physikalischen Hintergrund. Gerade das finde ich sehr interessant und würde mich gerne weitergehend fortbilden. Ich bevorzuge das Internet ja eben als Wissenquelle eben deswegen, weil es so einfach und unkompliziert verfügbar ist. Aber wenn du gute Bücher kennst, würde ich mir die auch mal besorgen.

Bereits genannt habe ich dir den Autor Lothar Papula, sein Standardwerk heißt "Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler". Darin findest du in 3 Bänden alles, was du für ein mathematisch-technisches Grundstudium brauchst, darunter eben auch Differential- und Integralrechnung, auch in mehreren Dimensionen und mit Anwendungsbeispielen. Darüber hinaus kann ich dir von Lothar Kusch "Mathematik 3 - Differenzialrechnung" und "Mathematik 4 - Integralrechnung" empfehlen, wo er sich, wie die Namen schon andeuten, ausschließlich mit diesen beiden Themen eingehend beschäftigt. Darin findest du hunderte von Beispielen mit Anwendungsbezug (auch nicht-technische Beispiele, was auch ist, um sich damit vertraut zu machen, wo überhaupt in unserer Welt überall die Infinitesimalrechnung auftaucht). Wenn du es irgendwann ganz mathematisch haben möchtest, kannst du dir auch mal "Mathematik" von Tilo Arens et al. zu Gemüte führen. Das Teil ist aber schon schwerere Kost, nicht nur, weil man zum Transport eine Tasche mit stärkeren Griffen braucht.

In jedem Fall kann ich dir zusätzlich den Rat geben, deine Hochschulbibliothek rege zu nutzen. So billig und umfangreich kommst du vermutlich nicht mehr so schnell an Bücher ran. Du wirst sicher auch über deine Hochschule Zugang zu den Fachbüchern von Springer über Springer-Link haben, da kannst du dir fast alle Bücher (aber auch Paper u.a.) kostenlos herunterladen und musst dafür in den meisten Fällen nicht einmal in die Bibliothek gehen und hast natürlich auch nicht das Problem, dass ein Buch mal vergriffen ist. Ich habe allerdings die Erfahrung gemacht, dass leider recht wenige Studenten dieses umfangreiche Angebot nutzen. Frag einfach mal an deiner Hochschule in der Bibliothek an.

Zitat:

Original von einsundzwei
Zu deiner Aussage:
"Selbe Begründung eigentlich wie beim Ableiten. Wie soll es auch anders sein, nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist ja das eine die Umkehrung des anderen. Bevor ich hier groß rumlamentiere, rate ich dir, dich am besten eingehend mit dem Konzept des Infinitesimalen zu beschäftigen, damit du eine bessere Vorstellung davon bekommst, was beim Integrieren eigentlich aufsummiert wird und woher überhaupt diese Schreibweise mit dem Integralzeichen eigentlich kommt und was dieses dx oder dt darin verloren haben."

Meinst du damit die unendlich schmalen Rechtecke unter einer Funktion, die sich dann dem Flächeninhalt annähern?

Jein. Diese Rechtecke sind ja bloß ein Weg, um den Begriff des Integrals bildlich darzustellen, weil man sonst noch mehr Schwierigkeiten hätte zu verstehen, was mit dem Grenzwert zwischen Ober- und Untersumme gemeint ist. Und es funktioniert auch ganz gut, weil man diese Analogie immer wieder heranziehen kann, wenn man es mit plastischen Problemen zu tun hat. Seien es irgendwelche 2-Dimesionalen Flächen, sowas wie Volumina von Körpern oder eine Wassermenge, die in einer Zeit t zu- oder abgeflossen ist. Aber wenn es z.B. darum geht, die Wärmemenge, die in einer Zeit t durch einen Körper geflossen ist oder diesem zugeführt wurde, oder die Energie, die aufgebracht werden muss, um einen Körper durch ein bestimmtes Kraftfeld zu leiten (Stichwort Kurvenintegrale), zu berechnen, dann tut man sich einen sehr großen Gefallen damit, wenn man sich ein stückweit von dieser bildlichen Analogie des Integrals trennen kann und versteht, was da überhaupt im unendlich kleinen aufsummiert wird.

Da ich selbst auch gerne multimedial lerne und bei vielen Themen eine grafische Ausschmückung eines Themas auch für mich hilfreich ist, kann ich dir als Ergänzung zum Lernen die YouTube-Kanäle der Professoren Jörn Löviscach (FH Bielefeld) und Edmund Weitz (HAW Hamburg) wärmstens empfehlen. Die Videos sind nicht so kurz und auf schnelle Formeln begrenzt, wie z.B. die von Daniel Jung, sondern sind meistens aus den laufenden Vorlesungen aufgezeichnet und behandeln die Themen entsprechend kohärenter. Und bei den beiden findest du zu vielen Themen interessante Playlists, die meiner Meinung nach das Wissen aus Büchern super ergänzen können.

26.09.2019, 17:05

Mathe-Novize

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Da war ich nicht mehr schnell genug, um meinen eigenen Beitrag noch einmal zu ändern. Ich wollte noch anmerken, dass eine Aussage in der Form $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{t} \! 1 \, dt = t \end{eqnarray*}$ keinen Sinn macht. Du kannst nicht deine Integrationsvariable geichzeitig als Grenze deines Integrals haben. Wenn du deine Integrationsvariable hingegen umbenennst, wird ein Schuh draus: $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{t} \! 1 \, d\tilde{t} = t \end{eqnarray*}$

26.09.2019, 17:06

einsundzwei

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Das zur 2.2 ist nicht so wichtig fürs Verständnis.

Alles klar.
Mir ist auch gerade aufgefallen, dass ein Inttegral im Prinzip wie Multiplikation ist. Wenn man beispielsweise die Geschwindigkeit v über t integriert, erhält man ja den zurückgelegten Weg s raus. Also im Prinzip v*t=s nur für nicht lineare Fälle. Genauso ist es fürs Differenzieren. Leitet man v nach t ab, so erhält man eine Beschleunigung. Hier auch v/t=a.

Dann habe ich jetzt erstmal ein besseres Verständnis dafür erlangt. Dann werde ich mich nochmal mit der empfohlenen Literatur beschäftigen.

Vielen Dank

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