Exponentialfunktion mit e nach x auflösen

25.09.2019, 17:42	Ubergrade	Auf diesen Beitrag antworten »
Exponentialfunktion mit e nach x auflösen Meine Frage: Hallo zusammen, folgende Gleichung soll nach x aufgelöst werden und ich stehe sehr auf dem Schlauch. $\begin{eqnarray} \frac{2}{3}x-\frac{4}{3}+e^{x/3} \end{eqnarray}$ Ich bitte um eure Hilfe, wie an die Sache heranzugehen ist und bedanke mich im Voraus recht herzlich! Meine Ideen: Soweit ich herausgefunden habe, kann ich nicht mit ln arbeiten um das e weg zu bekommen, Substitution von e^x bringt mich auch nicht weiter, ich bitte also um den richtigen Ansatz wie hier vorzugehen ist.
25.09.2019, 17:47	G250919	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Exponentialfunktion mit e nach x auflösen Das geht algebraisch nicht. Verwende ein Näherungsverfahren oder die Lambert-Funktion.
25.09.2019, 19:29	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Gleichung lässt sich in die Form $\begin{eqnarray} ax+e^{bx}=y \end{eqnarray}$ bringen. Substituiere nun $\begin{eqnarray} x:=u+\tfrac{y}{a} \end{eqnarray}$ . Nach Vereinfachung bekommt man dann $\begin{eqnarray} au+e^{by/a}e^{bu}=0 \end{eqnarray}$ . Weitere Umformung bringt $\begin{eqnarray} e^{by/a} = -au e^{-bu} \end{eqnarray}$ und weiter $\begin{eqnarray} A:= \tfrac{b}{a}e^{by/a} = -bu e^{-bu}. \end{eqnarray}$ Eine Gleichung der Form $\begin{eqnarray} A=te^t \end{eqnarray}$ lässt sich mit der Lambert-W-Funktion zu $\begin{eqnarray} t=W(A) \end{eqnarray}$ umformen. Das bringt $\begin{eqnarray} -bu = W(A). \end{eqnarray}$ Resubstitution liefert $\begin{eqnarray} x = \tfrac{y}{a}-\tfrac{1}{b}W(A). \end{eqnarray}$

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