ggT von 0

25.09.2019, 19:33	GGROMM	Auf diesen Beitrag antworten »
ggT von 0 Meine Frage: Hallo! In einem Hauptidealring R existiert stets ein ggT. Wie ist der ggT von 0? In meinem Algebrabuch wurde 0 nicht ausgeschlossen. Meine Ideen: Der ggT von 0 dürfte nicht existieren (nicht immer). Bei IZ gibt es offensichtlich keinen und bei R = 0 ist es natürlich 0. Hat der Autor vielleicht vergessen die 0 bei einer Definition zu exkludieren? gruss
25.09.2019, 19:56	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
0*0=0 gilt immer, also ist ggT(0)=0
25.09.2019, 20:22	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit der klassischen Definition gilt $\begin{eqnarray} \mathrm{ggT}(0, a) = a \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} a \in R \end{eqnarray}$ . Offensichtlich ist $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ ein Teiler von $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ und einen "größeren" bzgl. Teilbarkeit kann es auch nicht geben.
25.09.2019, 21:41	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, ich hätte schreiben sollen ggT(0,0)=0. Im Sinne der Teilbarkeit ist 0 das größte Element eines Rings, denn jedes Ringelement teilt 0.
26.09.2019, 17:36	rumar	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: ggT von 0 Die Funktion ggT ("größter gemeinsamer* Teiler") bezieht sich in der Regel auf (mindestens) zwei Argumente. Ein* Mensch geht auch nicht gemeinsam mit sich selbst ins Kino. Will man trotzdem einen ggT zu einer einzigen Zahl definieren in dem Sinne, dass ggT(a):= ggT(a,a), dann gilt z.B. in der Menge der (positiven !) natürlichen Zahlen: ggT(n) = ggT(n,n) = n aber ggT(0) = ggT(0,0) ist nicht definiert, denn jede natürliche Zahl (außer die Null selbst) ist Teiler der Zahl Null, und es gibt keine größte natürliche Zahl.
26.09.2019, 17:41	rumar	Auf diesen Beitrag antworten »
@IfindU: R (wenn du damit die Menge der reellen Zahlen meinst) ist keine geeignete Grundmenge, da in R jede Zahl durch jede (außer durch null) teilbar ist.
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26.09.2019, 18:11	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Sei $\begin{eqnarray} (R,+,) \end{eqnarray}$ ein Ring und $\begin{eqnarray} a,b\in R \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ heißt Teiler von $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ , wenn es ein $\begin{eqnarray} c\in R \end{eqnarray}$ gibt mit $\begin{eqnarray} ac=b \end{eqnarray}$ . Wegen $\begin{eqnarray} r0=0 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} r\in R \end{eqnarray}$ ist speziell $\begin{eqnarray} 00=0 \end{eqnarray}$ , also ist $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ ein Teiler von $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ . Man setzt $\begin{eqnarray} ggT(0,0)=0 \end{eqnarray}$ , unter anderem weil das gut zu $\begin{eqnarray} ab=ggT(a,b)kgV(a,b) \end{eqnarray}$ passt. Im Sinne der Teilbarkeit definiert man "kleiner als" dadurch, dass $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ "kleiner als" $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ heißt, wenn $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ ein Teiler von $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ ist. Alle Ringelemente sind Teiler von $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ , also sind alle Ringelemente "kleiner als" $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ , also ist $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ bezüglich Teilbarkeit das größte Element des Rings. Man sieht, dass die Bezeichnung "größter" gemeinsamer Teiler gut gewählt ist. Die Menge der natürlichen Zahlen ist kein Ring, also sollte man im Zusammenhang mit Teilbarkeit vermeiden, von natürlichen Zahlen zu reden.

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