Eigenschaften von f(x)=9*|x|

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luwa Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenschaften von f(x)=9*|x|
Meine Frage:
Hallo liebe Matheboard Community,

habe eine kurze Frage und hoffe dass sie mir jemand erläutern kann.

Ist die Funktion injektiv,surjektiv oder bijektiv?


Meine Ideen:
Hätte jetzt eigentlich gedacht dass die Funktion bijektiv ist, da ja auf dem Bereich der positiven Reellen Zahlen gilt, dass jedem y genau ein x-Wert zugewiesen werden kann. Laut meiner Lösung ist die Funktion allerdings nur surjektiv...

Stehe auf dem Schlauch hoffe jemand kann mir kurz helfen.
Gruß Luwa
G260919 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenschaften von f(x)=9*|x|
Der Definitionsbereich ist R.
R wird abgebildet auf [0,+oo)
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenschaften von f(x)=9*|x|
Zitat:
Original von luwa
Meine Ideen:
Hätte jetzt eigentlich gedacht dass die Funktion bijektiv ist, da ja auf dem Bereich der positiven Reellen Zahlen gilt, dass jedem y genau ein x-Wert zugewiesen werden kann.

Und da bist du dir wirklich völlig sicher? verwirrt
Mathe-Novize Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenschaften von f(x)=9*|x|
Zitat:
Original von luwa
Hätte jetzt eigentlich gedacht dass die Funktion bijektiv ist, da ja auf dem Bereich der positiven Reellen Zahlen gilt, dass jedem y genau ein x-Wert zugewiesen werden kann. Laut meiner Lösung ist die Funktion allerdings nur surjektiv...

Deine Funktionsdefinition lautet also

Wir fassen nochmal zusammen, was Surjektivität, Injektivität und Bijektivität bedeuten.

Surjektivität bedeutet, dass es für jedes Element aus der Zielmenge (man nennt dieses Element häufig auch Bild) mindestens ein Element in der Definitionsmenge (dieses nennt man dann Urbild) gibt.
Injektivität bedeutet, dass es für jedes Element aus der Zielmenge höchstens ein entsprechendes Element aus der Definitionsmenge gibt.
Bijektivität vereint letztlich Surjektivität und Injektivität zu der Aussage, dass es für jedes Element in der Zielmenge mindestens ein und gleichzeitig höchtens ein Element - was zusammen die Aussage ergibt: genau ein Element - in der Definitionsmenge gibt.

Die Definitionsmenge deiner Funktion lautet , also alle reellen Zahlen, und die Zielmenge ist , also der Bereich der positiven reellen Zahlen einschließlich der Null. Nun musst du lediglich die obigen Kriterien auf diese beiden Mengen anwenden. Mit deiner Abbildungsvorschrift erreichst du alle positiven reellen Zahlen, wenn du alle reellen Zahlen einsetzt, also gerade die Zielmenge der Funktion Surjektivität ist gegeben. Da in deiner Funktionsvorschrift aber auftritt und das eine gerade Funktion ist, es gilt also , gibt es bis auf immer zwei Möglichkeiten, wie man jedes deiner Zielmenge erreicht. Z.B. ist . Bildlich gesprochen gibt es also 2 -Werte, die auf denselben -Wert abbilden, Injektivität ist also nicht gegeben. Und weil beides, also Surjektivität und Injektivität, für Bijektivität gegeben sein muss, ist deine Funktion auch das nicht. Sie ist also lediglich Surjektiv.

An dieser Stelle gebe ich dir mit auf den Weg, dir deine Funktion bei solchen Betrachtungen immer genau anzusehen. Die Funktion ist immer eindeutig über die Angabe der Definitions- und Zielmenge und der Abbildungsvorschrift definiert. Wenn du z.B. zwei Funktionen und mit der gleichen Abbildungsvorschrift gegeben hast, so bedeutet das nicht zwangsläufig, dass diese Funktionen gleich sind. Du musst dir dann ganz genau ansehen, von welcher in welche Menge diese Funktionen abbilden. Nur, wenn diese Mengen ebenfalls identisch sind, kannst du sagen, dass auch die Funktionen identisch sind. Aber zwei Funktionen und mit

sind nicht identisch. Bei gehört die Null noch zur Zielmenge dazu, bei schon nicht mehr. Das reicht schon, damit diese Funktionen nicht mehr identisch sind.
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