Möbiusfunktion bestimmen

26.09.2019, 23:10	Studentu	Auf diesen Beitrag antworten »
Möbiusfunktion bestimmen Hallo Leute, in dieser Frage geht es um die Möbiusfunktion. Und zwar auf der Halbordnung $\begin{eqnarray} (\mathcal{P}(M), \subseteq) \end{eqnarray}$ , wobei M irgendeine Menge ist. Darauf ist die Funktion $\begin{eqnarray} f(A,b) = \|\{C, A \subseteq C \subseteq B\}\|, \quad A \subseteq B \end{eqnarray}$ definiert. Nun ist zunächst zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} f(A,B) = (\zeta \ast \zeta)(A,B) \end{eqnarray}$ ist. Dies habe ich gemacht wie folgt: $\begin{eqnarray} (\zeta \ast \zeta)(A,B) = \sum_{A \subseteq C \subseteq B} \zeta (A,C) \cdot \zeta(C,B) = \|\{C: A \subseteq C \subseteq B\}\| = f(A,B) \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} f(n):=f(A,B) \end{eqnarray}$ mit \|A\B\| = n zu bestimmen. Ich habe mir das aufgezeichnet mit den Mengen, die zwischen A und B liegen können und komme so insgesamt auf $\begin{eqnarray} f(n) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \end{eqnarray}$ . Zuletzt ist noch die inverse Funktoin von f(A,B) bzgl der Faltung, also die Möbiusfunktion, gesucht. Ich komme dabei auf das Ergebnis, dass $\begin{eqnarray} \mu (C,C) = 1 \forall C \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mu (C, D) = -2 \end{eqnarray}$ , wenn \|D\C\| = 1. Für größere Mengen wird es mir aber zu unübersichtlich, dabei bräuchte ich bitte eure Hilfe. Und ich habe auch noch zwei generellere Fragen zu den arithmetischen Funktionen: Wenn man eine Halbordnung hat, bei der Elemente, sagen wir z.B. a und b, nicht vergleichbar sind, gilt dann immer automatisch $\begin{eqnarray} \mu(a,b) = 0 \end{eqnarray}$ ? Und wenn man eine Halbordnung hat, wo man im Hasse-Diagramm von verschiedenen Elementen nach oben gelangt, also z.B. die Halbordnung {{1,2,3,4,5,6}, \|}, dann muss man bei der Faltung über diese verschiedenen Wege summieren oder? Ich meine z.B. bei der Faltung $\begin{eqnarray} (f\ast \mu)(1,6) \end{eqnarray}$ . Da ist dann $\begin{eqnarray} (f \ast \mu)(1,6) = f(1,1)\mu(1,6) + f(1,2)\mu(2,6) + f(1,3)\mu(3,6) + f(1,6) \mu(6,6) \end{eqnarray}$ richtig, aber sowohl $\begin{eqnarray} (f \ast \mu)(1,6) = f(1,1)\mu(1,6) + f(1,3)\mu(3,6) + f(1,6) \mu(6,6) \end{eqnarray}$ als auch $\begin{eqnarray} (f \ast \mu)(1,6) = f(1,1)\mu(1,6) + f(1,2)\mu(2,6) + f(1,6) \mu(6,6) \end{eqnarray}$ falsch oder?
28.09.2019, 15:34	Studentu	Auf diesen Beitrag antworten »
Falls definitionsmäßig oder sonst irgendetwas unklar ist, bitte einfach fragen! Vielleicht kommen wir ja gemeinsam ans Ziel.
30.09.2019, 14:47	Studentu	Auf diesen Beitrag antworten »
Achtung! Nachdem ich keine Antworten erhalten habe, habe ich diese Frage nun auch in einem anderen Forum gestellt. Ich würde mich jedoch weiterhin auch über eure Hilfe freuen.

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