Finde distinkte Zahlen

27.09.2019, 11:44

Thomas007

Finde distinkte Zahlen

Hallo miteinander

Wie kann ich vier distinkte, positive Zahlen a, b, c, d finden, so dass $\begin{eqnarray*} a^2+b^2 = c^2 + d^2 = 439097 = 577 \cdot 761 \end{eqnarray*}$ gilt?

Danke für die Hilfe!

27.09.2019, 13:50

Huggy

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RE: Finde distinkte Zahlen
Das ist für die heutigen Rechner natürlich ein Nanoklacks. Wenn man es mit Papier und Bleistift machen möchte, kann man verwenden

(1) 577 und 761 sind Primzahlen der Form $\begin{eqnarray*} 4k+1 \end{eqnarray*}$ .

(2) Jede Primzahl der Form $\begin{eqnarray*} 4k+1 \end{eqnarray*}$ lässt sich eindeutig als Summe von 2 Quadraten darstellen.

(3) Wenn $\begin{eqnarray*} m=a^2 +b^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n=c^2+d^2 \end{eqnarray*}$ , dann ist

$\begin{eqnarray*} m n=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2 \end{eqnarray*}$

27.09.2019, 13:57

G270919

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RE: Finde distinkte Zahlen

Zitat:

Jede Primzahl der Form 4k+1 lässt sich eindeutig als Summe von 2 Quadraten darstellen.

Warum ist das so?

27.09.2019, 14:00

Huggy

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RE: Finde distinkte Zahlen
Das ist ein gut bekannter Satz aus der Zahlentheorie, dessen Beweis aber mehr als 2 -3 Zeilen erfordert.

29.09.2019, 09:47

Thomas007

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RE: Finde distinkte Zahlen
Hallo Huggy

Herzlichen Dank für deine Antwort!

Stimmt, den angesprochenen Satz habe ich auch schon gelesen.
Was heisst das nun aber für die Zahlen a, b, c, d, wenn $\begin{eqnarray*} (ac - bd)^2 + (ad + bc)^2 = (ac + bd)^2 + (ad-bc)^2 \end{eqnarray*}$ ?

Also wie kann ich nun konkrete Zahlen für a, b, c, d finden?
(Oder ist das gar nicht notwendig?)

29.09.2019, 10:12

Huggy

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RE: Finde distinkte Zahlen
Die Zahlenpaare $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (c,d) \end{eqnarray*}$ findest du, indem du 577 und 761 als Summe von 2 Quadraten schreibst. Da muss man nur wenige Zahlen durchprobieren. Man kann noch verwenden, dass jeweils eine der beiden Zahlen gerade und die andere ungerade sein muss.

29.09.2019, 11:10

Thomas007

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RE: Finde distinkte Zahlen
Ah top, besten Dank! smile

13.11.2019, 18:35

otru

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Hallo zusammen,

wenn ich den Satz "Jede Primzahl der Form 4k+1 lässt sich eindeutig als Summe von 2 Quadraten darstellen." nicht benutze, sondern einfach mal a=10k+9 ansetze, dann komme ich nicht auf die Teillösung a=499, welche ja offenbar Teil des Lösungsquadrupels ist. Gibt es einen Rechenweg, der von diesem Ansatz a=10k+9 ausgehend doch auf die 499 führt?

13.11.2019, 18:52

HAL 9000

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Warum soll man von einem völlig aus der Luft gegriffenen Ansatz $\begin{eqnarray*} a=10k+9 \end{eqnarray*}$ ausgehen? Weil das zur Lösung passt? Warum dann nicht den Ansatz $\begin{eqnarray*} a=100k-1 \end{eqnarray*}$ ? Irgendwie sehr fragwürdig dein Ansinnen, zumal ein sehr klarer, zudem einleuchtender anderer Lösungsansatz ja oben vorliegt.

Wichtig ist oben eigentlich nur (3) sowie die Tatsache, dass man 577 und 761 als Summe zweier Quadrate darstellen kann.

Dass 577 und 761 Primzahlen kongruent 1 modulo 4 sind und somit laut (2) jeweils solche Zerlegungen existieren (auch noch eindeutig), ist zur Lösung des Problems hier sekundär, wenn man diese Zerlegungen (wie auch immer) auch so gefunden hat.

13.11.2019, 20:04

otru

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Dass (3) der Schlüssel zur Lösung ist, ist mir klar, wenn ich (3) als bekannt betrachte. Das kann ich aber nur, weil ich es von Huggy Huggy ist männlich hier vorgefunden habe. Selber wäre mir diese Identität nicht bekannt gewesen.
Es war für mich nicht so nahe liegend wie die Tatsache, dass die gesuchten Quadratzahlen nur die Endziffern 1 und 6 haben können, weil die gegebene Summe s=577*761 der gesuchten Quadratzahlen gleich 7 mod 10 sein muss. Das lag für meine bescheidene Sicht auf die Aufgabe etwas näher als die zweifellos zutreffende, aber mir beim Lesen der Aufgabenstellung nicht offenbar einsichtige Identität (3). Damit kann ich die Frage

Zitat:

Warum soll man von einem völlig aus der Luft gegriffenen Ansatz $\begin{eqnarray*} a=10k+9 \end{eqnarray*}$ ausgehen?

beantworten:
Wenn das Quadrat $\begin{eqnarray*} a^2 \end{eqnarray*}$ einer Zahl $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ die Endziffer 1 hat, dann muss die Zahl $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ entweder die Endziffer 1 oder die Endziffer 9 haben.

Und daher habe ich einfach mal $\begin{eqnarray*} a=10k+9 \end{eqnarray*}$ angesetzt. Mit diesem Ansatz komme ich aber nicht weiter:

$\begin{eqnarray*} a=10k+9 &&\Rightarrow a^2 = 100k^2 + 180k + 81\text{ und dies in } {a^2+b^2=s}\text{ eingesetzt:}<br /> &&\Rightarrow 100k^2 + 180k + 81 + b^2 - s = 0 \end{eqnarray*}$
Und damit habe ich eine in k quadratische Gleichung, bei der ich die Diskriminante betrachtet habe und dabei nur die bekannte Identität $\begin{eqnarray*} s-b^2=a^2 \end{eqnarray*}$ heraus bekommen habe, also einen nutzlosen Ringschluss gemacht habe.

Da aber sicher ist, dass a=499 eine Lösung ist, wollte ich wissen, ob der Ansatz vielleicht doch zum Erfolg führen könnte. Genauso, wie der alternative Ansatz a=10k+4 auf eine leere Lösungsmenge führen müsste.

13.11.2019, 20:08

HAL 9000

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Zitat:

Original von otru
Dass (3) der Schlüssel zur Lösung ist, ist mir klar, wenn ich (3) als bekannt betrachte.

Die Identität in (3) ist doch algebraisch einfach nachzuweisen: Einfach mal die Quadrate ausmultiplizieren!!! Das ist ein Bruchteil des Aufwandes, den du allein in das Verfassen deines letzten Beitrags gesteckt hast. Augenzwinkern

13.11.2019, 20:28

otru

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von otru
Dass (3) der Schlüssel zur Lösung ist, ist mir klar, wenn ich (3) als bekannt betrachte.

Es geht mir nicht darum, anzuzweifeln, dass (3) gilt. Einfach mal die Quadrate auszumultiplizieren ist ja keine so schwere Aktion, wenn man (3) schon kennt bzw. wenn ich mir es abgeschrieben habe. Es ging mir darum, wie ich überhaupt von der Existenz der Identität (3) wissen könnte, wenn ich vor Huggys Angabe gar nicht wusste, dass diese galt. Geschweige denn, vorm Lesen der Aufgabenstellung. Es war für micht nicht nahe liegend, dass (3) gilt. Wenn ich von der Existenz von (3) gar nicht wusste, dann hätte ich möglicherweise seit der Fragestellung im September eine tägliche Beschäftigung bis heute gebraucht, bevor ich mehr oder weniger zufällig die Identität (3) erkannt hätte.

Viel nahe liegender war nach dem Lesen der Aufgabenstellung für mich, dass wegen $\begin{eqnarray*} s \text{ mod } 10 \equiv 7 \end{eqnarray*}$ nur Quadratzahlen in Frage kommen konnten, die die Endziffern 1 und 6 haben.

13.11.2019, 20:38

HAL 9000

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Zitat:

Original von otru
Es ging mir darum, wie ich überhaupt von der Existenz der Identität (3) wissen könnte, wenn ich vor Huggys Angabe gar nicht wusste, dass diese galt.

Das ist für mich didaktophilosophisches Geschwurbel, an solchem Unfug beteilige ich mich nicht. Big Laugh

Einen einfach nachvollziehbaren Weg nur deshalb abzulehnen, weil man nicht selber drauf gekommen ist? Sowas gehört doch zum Lernprozess - beim nächsten mal kommt man auf Basis dieser Erfahrung doch vielleicht selber drauf. Ist jedenfalls fruchtbarer, als sich stur weiter in einer zahlentheoretische Sackgasse zu verirren.

13.11.2019, 20:53

otru

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von otru
Es ging mir darum, wie ich überhaupt von der Existenz der Identität (3) wissen könnte, wenn ich vor Huggys Angabe gar nicht wusste, dass diese galt.

Das ist für mich didaktophilosophisches Geschwurbel, an solchem Unfug beteilige ich mich nicht. Big Laugh

Es ist nicht etwa so, dass ich dich hiermit ärgern will. Aber so wie du z. B. a=9 mod 10 als

Zitat:

völlig aus der Luft gegriffenen Ansatz $\begin{eqnarray*} a=10k+9 \end{eqnarray*}$

bezeichnest (obwohl ich ihn ja begründen konnte), so könnte ich Huggy auch unterstellen, dass er die Gleichung (3) vom Himmel fallen ließ. Bzw. dass er nicht erklärt hat, warum die Benutzung dieser Formel hier nahe liegend ist. Denn diese Formel ist eher nicht so geläufig, dass man sie auswendig kennt, im Gegensatz zu den binomischen Formeln oder die Lösungsformel einer quadratischen Gleichung, die man sozusagen "im Vorbeigehen" auf eine Aufgabenstellung anwenden kann.

13.11.2019, 22:18

HAL 9000

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Geh deinen Weg mit Ansatz 10k+9. Manchmal muss man ja auch eine Sackgasse bis zum Ende gehen bis man merkt, dass der von anderen gewiesene Weg vielleicht doch nicht so schlecht war, auch wenn man das anfangs nicht begriffen hat.

13.11.2019, 22:42

otru

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Zitat:

Original von HAL 9000
Geh deinen Weg mit Ansatz 10k+9. Manchmal muss man ja auch eine Sackgasse bis zum Ende gehen bis man merkt, dass der von anderen gewiesene Weg vielleicht doch nicht so schlecht war [].

Werd ich. Bis demnächst smile

25.11.2019, 22:56

Ulrich Ruhnau

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Da wir hier im Bereich Numerik sind, ist es vielleicht erwähnenswert zu zeigen, wie man das in Matlab macht, ohne Schleifen zu bilden.

function [ q ] = quad2( z )
% Quadrate finden
% z = vorgegebene Ganzzahl ( z = a^2 + b^2 )
% a, b gesuchte Ganzzahlen
% q = Liste mit Kandidaten für a und b
w = fix(sqrt(z));
a = 1:w;
b1 = round(sqrt(z-a.*a),8);
b2 = fix(b1);
s = find(b1==b2);
q = a(s);
end

Der Aufruf der Funktion erfolgt mit

>> q=quad2(439097)

q =

436 461 476 499

Was soviel heißen soll daß $\begin{eqnarray*} 436^2+499^2=439097=461^2+476^2 \end{eqnarray*}$

Den anderen Weg über die Spezialformel überlasse ich mal den Studenten. Aber die mußten ihre Aufgabe bestimmt schon abgeben.

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