Unendliche Vereinigung von Teilmengen

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Unendliche Vereinigung von Teilmengen
Meine Frage:
Ich habe die Mengen Ti i ist der Index und geht von 1 bis Unendlich. Alle Ti sind Teilmengen von N (natürliche Zahlen). V ist die Vereinigungsmenge all diese Teilmengen. Alle Ti sind paarweise disjunkt und enthalten jeweils gleich viele gerade und ugerade Zahlen. Es gilt auch |Ti|=c*t^i, wobei c ein konstanter Faktor ist und t=2n oder t=|N|. Nun stelle ich die Behauptung auf V=N. Wo liegt mein Fehler? Kann man überhaupt so was beweisen oder ist es ein weiteres "unlösbares Problem der Mathematik"?

Meine Ideen:
Da die Teilmengen Ti gleich viele gerade und ungerade Zahlen enthalten (genau wie N selbs) und die Mengen paarweise disjunkt sind müssen ja alle diese Mengen zusammen auch alle zahlen aus N enthalten. Es ist mir klar das dieser Beweis mathematisch nicht unbedingt einwandfrei is, aber einen Gegenbeweis kann ich ja auch nicht finden. Es gibt auch einige Beispiele die für meine behauptung sprechen, wobei diese ja natürlich nicht als beweis gelten können.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Gegenbesipiel
 
 
Paradox Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, da hab ich Blödsin von mir gegeben. Für unendliche telmengen lässt sich aber diese Gegenbeispiel auch übertragen?
Hab mich eigentlich nur für unendliche teilmengen interesiert, jedoch um irgend welche vernünftige Schlüße ziehen zu können hab ich versucht es auf endliche teilmengen auszuweiten und das war mein größter Fehler, denn dafür musste ich eine wichtige Vorbedingung afgeben, die eigentlich nur für unendliche Mengen gelten kann.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Für t=2n ist c*t^i endlich, also Ti eine endliche Menge. Was soll c*t^i für t=|N| heißen ? Unendlich hoch i kenne ich nicht. Welche Bedeutung hat "gleich viele gerade wie ungerade Zahlen" für unendliche Mengen ?

Wenn ich ein paar Anfangselemente weglasse, dann sehe ich nicht, wie die Vereinigung der Ti eine andere Eigenschaft haben soll als wenn alle natürlichen Zahlen vorkommen.
Paradox Auf diesen Beitrag antworten »

Also mit (|N|)^2 währe wohl |NxN|, (|N|)^3 |NxNxN| usw gemeint, c ist natürlich bei so was überflüsig. Also wie der Gegenbeweis für endliche Mengen gemeint war hab ich nicht gleich verstanden, da ich mit N oder Natürliche Zahlen die so genannte "alte Definition" meinte, bei der 0 nicht dabei ist. Nach dem ich gemerkt habe das du N0 verstanden hast, hab ich natürlich den Gegenbeweis kapiert und konnte unendlich viele solche Gegenbeweise finden, das es mit Unendlichen mengen genau so gehen kann wi du es beschrieben hast hab ich mir zwar auch überlegt, aber 100% sicher war ich nicht, bis du es bestätigt hast.
Die eigentliche Behauptung für unendliche Mengen lautet:
1. Alle Ti sind paarweise disjunkt
2. |Ti|=(|N|)^i, sieh oben.
3. Ti enthällt gleich viele gerade und ungerade Zahlen
4. Es existiert eine injektive Abbildung f von N nah N so das für alle a aus Ti gilt f(a) ist in Ti und für alle natürliche Zahlen b mit f(b) gilt b ist in Ti. Momentan ist f auf Abbildungen wie diese beschränkt: f(n)=n*2^m+n mod 2. m und n sind natürliche Zahlen, sieh bedeutung oben.
Hier mal ein Beispiel:
T1={1, 2, 9, 16, 73, 128,...}
T2={3, 4, 25, 32,...}v{11, 18, 89, 144,...}v...
Ein direkter oder induktionsbeweis lässt sich hier wohl schwer, wenn überhaupt anwenden, so bleibt nur Wiederspruchsbeweis. Also hab ich überlegt, dass fals meine Behauptung falsch ist muss es eine menge V! geben die disjunkt mit V ist und VvV!=N. Insbesondere falls ich zeigen könnte, dass V! nicht existieren kann währe meine behauptung doch bewiesen.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Jede Potenz von |N| ist gleich |N|, deshalb versteh ich nicht was die Aufgabe bezwecken soll. Wenn kein Ti die Zahl 1 enthält, dann ist die Vereinigung der Ti nicht gleich N. Wenn ein Ti die 1 enthält, benenne ich um T1=Ti, Ti=T1 und lasseT1 einfach weg. Dann habe eine passende Vereinigung Ti, i von 2 bis unendlich, die ungleich N ist. Indexverschiebung n+1-->n, falls gewünscht, ist aber ziemlich unnötig, denn 2 bis unendlich ist "genau so viel wie" 1 bis unendlich.
Paradox Auf diesen Beitrag antworten »

Mir ist schon klar das (unendlich)^n=unendlich wobei n natürliche Zahl ist. Hab es so geschrieben damit ich es irgend wi auch mit endlichen Mengen in Verbindung bringen kann. Also eigentlich soolte damit gemeint sein, dass jede Teilmenge T(i+1) unendlich viele Teilmengen der Größe von Ti enthält. Wie man so was mathematisch richtig ausdrückt ist mir nicht eingefallen. Also man könnte die Bedingung eventuel umändern in: für jedes a aus Ti existiert eine Menge T(a) die wieder rum teilmenge von T(i+1) ist.
Also wenn ich dein Gegenbeweis richtig verstanden habe, sagst du, dass man imer eine Menge V! bilden kann die in der Vereinigung der Teilmengen Ti nicht enthalten ist, richtig? Für V! gilt aber dan doch Bedingung 4? Bedingung 1 gilt für V! ja auf jeden Fall. Durch die bedingung 2 wollte ich eigentlich verhindern das V! existieren kann, aber es scheint wohl nicht zu funktionieren.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Bedingung 1,2,3,4 ? Ich verstehe dich leider nicht. Wenn du Probleme hast, mathematisch korrekt zu sagen was du hast und was du willst, dann versuche doch einfach mal in klaren Worten zu sagen, was du hast und was du willst. Und bitte noch mal ganz von vorn, es ist mir nicht möglich, aus dem obigen Durcheinander heraus zu lesen, was du denkst. (Universität: 1. klare Gedanken 2. klare Sprache 3. klare Mathematik)
Paradox Auf diesen Beitrag antworten »

Ist mir schon klar, dass ich wohl ein Problem Habe mein Anliegen vernünftig auszudrücken und im Internet ist es noch viel schwiriger als auf dem Papier, denn ich kann die ganzen mathematischen Zeichen die ich eigentlich brauche hier nicht darstellen und es dann in Worten umzubeschreiben kann sogar noch iritierender sein.
Also die Idee ist eigentlich ich habe unendlich viele paarweise disjunkter unendliche Teilmengen von N und es stellt sich die Frage ob ich alle diese Mengen wieder zusammenfügen kann. Da es ja unendlich viele sind kann ich leider nicht wie bei endlich vielen paarweise disjunkten endlichen Teilmengen einer endlichen Menge die Aussage anhand der Anzahl und Mächtigkeit der mengen treffen. Die Überlegung war, dass wenn alle teilmengen immer nach dem bestimmten selben Prinzip aufgebaut sind, könnte man die gewünschte Aussage treffen. Die Bedingungen 1 bis 4 sollten eigentlich genau diesen Prinzip Beschreiben. Ich hab ja bereits zugegeben, dass besonders Bedingung 2 mathematisch nicht wirklich viel Sinn macht, aber ich wuste einfach nicht wie ich es anders ausdrücken sollte. Ob die volgende geänderte bedingung mathematisch mehr Sinn macht und auch verständlich ist kann ich nur schwer einschätzen. Etwas umformuliert währe ählich wie 4, es existiert eine injektive Abbildung h von Ti nach T(i+1) und fals für ein element b aus T(i+1) ein b existiert mit h(b)=a so muss a in Ti sein.
Ist leider wohl immer noch verwierend, ich versuche es wircklich unter der Einbeziehung der 3 von dir erwähnten Regeln es umzuformulieren. Danke noch mal vilmals für die Hilfe und Geduld.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Mir fehlt der Durchblick und ich bin auch mit vielen mathematischen Problemen gleichzeitig befasst. Vielleicht kannst du mal einen Beweis durch vollständige Induktion versuchen. Liegt 1 in der Vereinigung der Ti ? Liegt mit n auch n+1 in der Vereinigung der Ti ? Wenn ja, dann bist du fertig, denn dann ist N gleich der Vereinigung der Ti. Wenn das nicht zu beweisen ist, dann konstruiere ein Gegenbeispiel.
URL Auf diesen Beitrag antworten »

Ich durchschaue auch nicht, wie die Bedingungen zu verstehen sind. Trotzdem mal ein Beispiel, das Paradox vielleicht zur Klärung dieser ominösen Funktion f benutzen könnte:
Die Indexmenge ist die Menge der ungeraden Primzahlen. Definiere für eine Primzahl die Menge . ist also die Menge der Potenzen der Primzahl und der mit 2 multiplizierten Potenzen. ist abzählbar unendlich, enthält ebensoviele gerade wie ungerade Zahlen (im Sinne einer Bijektion), die Mengen sind paarweise diskunkt und bijektiv aufeinander abbildbar. Die Vereinigung aller ist offenbar nicht die Menge der natürlichen Zahlen.

Vielleicht kann Paradox anhand dieses Beispiels erklären, warum es kein Gegenbeispiel für seine Behauptung ist.
Paradox Auf diesen Beitrag antworten »

@URL
Dieses Gegenbeispiel ist mir bekannt, hab ich auch selbst bei meinen Überlegungen angeschaut und es war klar das in so einem Fall die Behauptung nicht erfüllt werden kann. Jedoch trifft bei diesem Beispiel ja die Bedingung die ich als 2 numeriert habe mit der Abbildung h die es immer von Ti nach T(i+1) geben soll.
Ich muss aber wirklich lernen meine Gedanken etwas klarer darzustellen. Also eigentlich war Meine Überlegung, ob man unendlich viele unendliche Teilmengen einer unendlich abzählbaren Mengen so Konstruiren kann, dass man später relativ leicht duch die Vereinigung diese Teilmengen wieder die ganze Menge kriege.
P.S. Ich hab gesehen, dass du in deiner Antwort irgend wie einige mathematische Zeichen hingekriegt hast, könntest du mir eventuel erklären wie du diese hingekriegt hast?
@Elvis
Wenn ich die Behauptung separat für gerade und ungerade Zahlen betrachten würde, könnte ich dann eigentlich daraus Schlüße auf alle Zahlen ziehen?
URL Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Paradox
und es war klar das in so einem Fall die Behauptung nicht erfüllt werden kann.
Jedoch trifft bei diesem Beispiel ja die Bedingung die ich als 2 numeriert habe mit der Abbildung h die es immer von Ti nach T(i+1) geben soll.

Worüber reden wir dann noch? Die Behauptung ist nicht erfüllt, die Bedingung trifft.
Falls du meinst, die Bedingung trifft nicht zu, dann sag mir warum.

Zitat:

P.S. Ich hab gesehen, dass du in deiner Antwort irgend wie einige mathematische Zeichen hingekriegt hast, könntest du mir eventuel erklären wie du diese hingekriegt hast?

Benutze den Formeleditor oder klicke in meinem Beitrag auf "Zitieren" und kopiere dir, was du brauchst.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

@Paradox
Wir wissen nicht, was du willst. Du willst Mengen zerlegen und "relativ leicht" durch Vereinigung rekonstruieren. Wenn du eine Menge hast und vollständig in disjunkte Teilmengen zerlegst, so ist das gleichbedeutend mit einer Äquivalenzrelation auf der Menge. Die bijektive Beziehung zwischen Partitionen von M und Äquivalenzrelationen auf M ist alles was man sich wünschen kann. Noch mehr zerlegen und noch leichter beschreiben geht nicht.
Paradox Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von URL
Zitat:
Original von Paradox
und es war klar das in so einem Fall die Behauptung nicht erfüllt werden kann.
Jedoch trifft bei diesem Beispiel ja die Bedingung die ich als 2 numeriert habe mit der Abbildung h die es immer von Ti nach T(i+1) geben soll.

Worüber reden wir dann noch? Die Behauptung ist nicht erfüllt, die Bedingung trifft.
Falls du meinst, die Bedingung trifft nicht zu, dann sag mir warum.

Zitat:

P.S. Ich hab gesehen, dass du in deiner Antwort irgend wie einige mathematische Zeichen hingekriegt hast, könntest du mir eventuel erklären wie du diese hingekriegt hast?

Benutze den Formeleditor oder klicke in meinem Beitrag auf "Zitieren" und kopiere dir, was du brauchst.

Also das mit Abbildung h war eine Vorbedingung, die natürlich niemals erfüllt werden kann bei deinem Gegenbeispiel, da es keine Abbildung h von einer wie auch immer aussehenden Menge M nach P geben kann, P ist natürlich die menge der Primzahlen. Da hab ich mich aber wieder einmal unglücklich ausgedrückt. Muss mir wircklich anschauen, wie es mit diesem Formeleditor funzt, den mit Formeln und anderen mathematischen zeichen kann ich mich viel beser in bezug auf Mathe ausdrücken, als nur mit Worten.
Was aber dein Gegenbeispiel angeht so war es in etwas geänderter Form doch ganz nützlich, im Bezug auf die Vorbedingung mit gleich vielen geraden und ungeraden Zahlen:
Ich kann ja die Menge aller ungeraden Natürlichen Zahlen nehmen und die in unendlich viele Teilmengen aufteilen, dan erweitere ich jede dise Teilmengen so, dass zur jeder ungeraden Zahl deren doppelter wert dazu kommt und schon habe ich in jeder der Teilmengen gleich viele gerade und ungerade Zahlen, jedoch ist die Vereinigung dieser Teilmengen nimals ganz N.
Also danke noch mal für die Hilfe.
Paradox Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
@Paradox
Wir wissen nicht, was du willst. Du willst Mengen zerlegen und "relativ leicht" durch Vereinigung rekonstruieren. Wenn du eine Menge hast und vollständig in disjunkte Teilmengen zerlegst, so ist das gleichbedeutend mit einer Äquivalenzrelation auf der Menge. Die bijektive Beziehung zwischen Partitionen von M und Äquivalenzrelationen auf M ist alles was man sich wünschen kann. Noch mehr zerlegen und noch leichter beschreiben geht nicht.

Mit bijektivität hab ich es auch schon mal versucht, wobei ich vermute du meinst da ewentuel was anderes als ich. Ich kan ja sowohl für f als auch h jeweils Bild- und Uhrbildmengen finden so, dass die jeweilige abbildung bijektiv ist. Die Bildmengen für f und h sind sogar disjunkt. Ich hab mir überlegt wenn ich zeigen könnte, dass die vereinigung dieser zweier Bildmengen genau N ergibt, jedoch ist es nur genau dann der Fall, wenn wenn die Vereinigung aller Teilmengen Ti N ergibt. Vermutlich ist mein größter Problem, dass ich es viel zu algemein halten will. Vieleich hab ich mit einem etwas konkreten Beispiel mehr Erfolg?
Paradox Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht nicht einfach darum eine Menge in Teilmengen zu zerlegen, sondern eine unendliche Menge soll in unendlich viel Teilmengen zerlegt werden, wobei jede diese Teilmengen wieder selbst unendlich ist.
Da es mit algemeiner Beschreibung nicht wirklich klapt, versuch ich es mit einem Konkreteren Beispiel:
Man nimt die Menge der ungeraden natürlichen Zahlen und eine Zahl n>1 und bildet mit Hilfe von 2 Abbildungen f und h die Mengen .
Hier werden noch einige weitere Teilmengen definiert, die für die Abbildungen f und h wichtig sind:
={ a mod (-1)= }
und es gilt immer für die Abbildung f: mit f(a)= f ist bijektiv.
Die Abbildung h: j=i+1 mit h(b)=(/(b mod (-1))-1)/(-1) h ist bijektiv.
Für jede Teilmenge wird eine Teilmenge mit hilfe der bijektiven Abbildung g: g(c)=c+1 konstruirt und es gilt . ist genau die Teilmenge aus der obigen Behauptung.
Um zu beweisen, dass müsste es doch eigentlich ausreichen zu beweisen, dass , aber selbst das gelingt mir nicht.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst du mal erklären, was das soll ? So etwas obskures saugt man sich doch nicht aus den Fingern. Ich habe keine Lust, durch reverse engineering herauszufinden, was du schon weißt.
Paradox Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Kannst du mal erklären, was das soll ? So etwas obskures saugt man sich doch nicht aus den Fingern. Ich habe keine Lust, durch reverse engineering herauszufinden, was du schon weißt.

Ist mir klar, dass es obskur aussieht, aus dem Grund hab ich ja versucht es am Anfang algemeiner zu fassen.
Also wie gesagt die Idee war eine algemeine Regel zu finden, wie man eine unendlich Menge in unendlich viele teilmengen zerlegt die wiederum selbst unendlich sind. So ganz aus den Fingern gesaugt ist es nicht, hab da nur einiges ausprobiert. Wegen der nicht ganz korrekten Annahme, dass es immer gleich viele gerade und ungerade Zahlen geben muss, hab ich überlegt das es irgend wie mit 2 bzw. einer Potenz von 2 zusammenhängen muss, so sind die Abbildungen am ende zusammen gekommen.
Es ist mir auch ein Flüchtigkeitsfehler pasiert, es heist eigentlich:
={a| a mod (-1)= } und ich kann natürlich beweisen das gilt. Auch das gilt kann ich beweisen. Also fals die Definiton von etwas verwirend erscheinen kan, in worten heist es ist die Menge alle Elemente aus , die bei Division durch einen Rest von 1, 2, 4 usw. hinterlassen. Ich hoffe die bedeutung des mod Operators ist nun auch klar?
Also es geht mir wirklich nicht darum, jemandem mit obskur anmutenden Behauptungen zu ärgern und falls es so bei dir angekomen ist, will ich mich natürlich in alle Deutlichkeit entschuldigen.
Wie gesagt, wenn ich die Teilmengen nach diesem Prinzip immer bilde, gelingt es mir nie eine Zahl zu finden, die nicht in einer dieser Teilmengen enthalten ist. Die Recherche zu dem Thema im Internet war leider erfolglos. Vieleich kennst du ja ein Link zu dem Thema? Also mit Äquvalenzrelationen scheine ich hier nicht wircklich weiter zu kommen, was ja nix heisen muss.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ich blicke nicht durch. Wie sind die definiert ? Wozu sind die Abbildungen f und h gut ? Was machen die und ? Wenn diese Mengen zu irgend etwas gut sind, warum definierst du sie nicht ordentlich ? Warum muss alles so undurchsichtig sein ? Schreibe doch nicht nur irgend welches Zeug auf, das keiner versteht. Erkläre doch mal "für Dumme und Soldaten", was du da machst und was du dir dabei denkst.
Paradox Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Ich blicke nicht durch. Wie sind die definiert ? Wozu sind die Abbildungen f und h gut ? Was machen die und ? Wenn diese Mengen zu irgend etwas gut sind, warum definierst du sie nicht ordentlich ? Warum muss alles so undurchsichtig sein ? Schreibe doch nicht nur irgend welches Zeug auf, das keiner versteht. Erkläre doch mal "für Dumme und Soldaten", was du da machst und was du dir dabei denkst.

OK, vieleicht könnte ich es mit einem noch etwas Konkreterem Beispiel versuchen. Sagen wir n=3, so würde ={1, 9, 73, 585, ...} gelten und ={9, 73, 585, ...} so wie ={9, 585, ...}. Wie man sieht ist f(1)=9, f(9)=73 usw, also bildet f eine art Ordnung inerhalb von . Da 9 mod 7=2 und 585 mod 7=4 gilt sind diese 2 elemente von in enthalten. Die Menge ={5, 41, ...}{167, 669,...}... .Man sieh das h(9)=5 und h(585)=167. So bildet h wieder auch eine art ordnung zwischen den mengen . Ist jetz etwas klarer wie ich zu den jeweiligen Megen komme?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Überhaupt nicht klar. Warum soll ich jetzt an einem Beispiel das Prinzip verstehen ? Definiere doch die und rede nicht nur drum herum. Oder sage, was die Mengen sind. Entweder bin ich doof oder du verschweigst etwas. und verstehe ich auch nicht. alles ist und bleibt mysteriös.
Paradox Auf diesen Beitrag antworten »

Also wie gesagt hab ich damit angefangen, dass ich das Beispiel für zerlegung einer Menge in gleichmächtige Mengen mit Mengen der geraden und ungeraden Zahlen genomen. Nun habe ich Überlegt dass man diese 2 Mengen dann auch wiedere in jeweils 2 gleichmächtige Mengen zerlegen kann, und auch für diese Mengen das ganze genau so wiederholen. Am Ende häte ich ja unendlich viele Teilmengen die aber mit der Ursprungsmänge gleichmächtig währen. Das war mehr oder weniger der Ursprungsgedanke. Dann war aber auch die Überlegung, wie könnte man den so eine teilmenge darstellen. Bildmengen schien mir die geeignete Lösung, denn auch die Mengen der geraden und ungeraden Zahlen kann man am einfachsten mit Abbildungen beschreiben. Aus den Abbildungen die jeweils zum Beschreiben der Menge der geraden und ungeraden Zahlen verwendet werden können, hab ich abgeleitet das ich Abbildungen brauche die etwas mit der 2 bzw einer Potenz von 2 zu tun haben, der Rest war dann reines Ausprobieren. Da das ganze durch reines Ausprobieren zustande kamm, sieht es wohl auch so obskur aus. Also hab ich einfach Abbildungen gesuch deren Bildmengen auch als disjunkte Teilmengen was taugen. Dan hab ich nach einer weiteren Abbildung gesucht mit der ich die Teilmengen irgend wie mit einander verbinden kann. So sind am Ende die 2 Abbildungen f und h zustande gekommen. Also es sind auch am Ende genau diese Abbildungen, die die jeweiligen Mengen definieren. Also währe die Teilmenge von die als Urbildmenge für h geeignet ist und die Teilmenge von die als Urbildmenge für die UMkehrabbildung von F taugt. Also verschweigen tue ich nix, würde ja kein Sinn machen. Vermute das Hauptproblem ist mit dem wie ich mich ausdrücke, das liegt wohl daran, dass mein Mathestudium schon mehr als ein jarzehnt her ist.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Zerlegst du die natürlichen Zahlen in Kongruenzklassen mod und fasst je zwei auf einander folgende Restklassen zu einer Teilmenge zusammen, so dass die natürlichen Zahlen in disjunkte Teilmengen aus je einer ungeraden und einer geraden Restklasse zerlegt werden ? Kann man machen. Abbildungen brauche ich dafür nicht. Was lernt man daraus ?
Entfernst du aus der 25655495468254. Teilmenge das 56844444441560565561086. und das darauf folgende Element (was niemand bemerken wird), so ist die Vereinigung ungleich . Was lernt man daraus ?
Paradox Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Zerlegst du die natürlichen Zahlen in Kongruenzklassen mod und fasst je zwei auf einander folgende Restklassen zu einer Teilmenge zusammen, so dass die natürlichen Zahlen in disjunkte Teilmengen aus je einer ungeraden und einer geraden Restklasse zerlegt werden ? Kann man machen. Abbildungen brauche ich dafür nicht. Was lernt man daraus ?
Entfernst du aus der 25655495468254. Teilmenge das 56844444441560565561086. und das darauf folgende Element (was niemand bemerken wird), so ist die Vereinigung ungleich . Was lernt man daraus ?

Wie gesagt ich hab bei der Behauptung nix mit Kongruenzklassen zu tun. Auch verstehe ich nicht was an der Idee Teilmengen mit Hilfe von Abbildungen zu konstruiren so verkert? Also als Beispiel hab ich ja schon mehrfach die Mengen der geraden und ungeraden Zahlen genomen. Beide Mengen sind ja Teilmengen von und lasen sich jeweils mit einer sehr einfachen Abbildungsvorschrift Konstruiren. Die Abbildungsvorschriften lauten jeweils für und für wobei natürlich gilt. Niemand würde auf die Idee kommen zu behaupten, dass z.B. 4 nicht in ist.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ich behaupte, dass man unbemerkt aus den geraden oder ungeraden Zahlen eine oder mehrere Zahlen größer als entfernen kann, und dann ist die Vereinigung der beiden Teilmengen nicht gleich . Das kann man auf beliebig viele Arten machen, und es merkt immer niemand. Es gibt kein Verfahren, um zu entscheiden, ob eine beliebige vorgelegte Zerlegung vollständig oder unvollständig ist.
Paradox Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Ich behaupte, dass man unbemerkt aus den geraden oder ungeraden Zahlen eine oder mehrere Zahlen größer als entfernen kann, und dann ist die Vereinigung der beiden Teilmengen nicht gleich . Das kann man auf beliebig viele Arten machen, und es merkt immer niemand. Es gibt kein Verfahren, um zu entscheiden, ob eine beliebige vorgelegte Zerlegung vollständig oder unvollständig ist.

Klar kannst du aus einer unendlichen Menge Elemente nach belieben entfernen und sogar unendlich viele davon, nur ist die Menge die dan entsteh ungleich der Ursprungsmenge. Es gilt ja , wobei sagen wir n=1000.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, dann sind wir uns darüber einig. Was ist jetzt deine Behauptung ? Sagst du, dass man eine unendliche Menge in unendlich viele unendliche Teilmengen zerlegen kann ? Ja, das kann man. Die einfachste Möglichkeit ist vielleicht die Menge , die aus Exemplaren von besteht und dieselbe Mächtigkeit wie hat.
Paradox Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Gut, dann sind wir uns darüber einig. Was ist jetzt deine Behauptung ? Sagst du, dass man eine unendliche Menge in unendlich viele unendliche Teilmengen zerlegen kann ? Ja, das kann man. Die einfachste Möglichkeit ist vielleicht die Menge , die aus Exemplaren von besteht und dieselbe Mächtigkeit wie hat.

Na ja da ist es wieder, mein Problem mit Vollständigkeit, es geht natürlich um paarweise disjunkte Teilmengen und meine Behauptung ist, dass man mit hilfe von 2 Abbildungen mit bestimten eigenschaften unendlich viele solche Teilmengen konstruiren kann, wobei auch jede dieser Teilmengen selbst unendlich groß ist. Diese Behauptung, so algemein ich sie Formuliert habe ist wohl sehr schwer, wenn nicht gar unmöglich zu beweisen, also hab ich versucht es mit einem Konkreteren Beispiel. Ich hab also 2 Abbildungen gefunden die, die geforderten Eigenschaften haben und mit deren Hilfe unendlich viele paarweise disjunkte Teilmengen konstruirt, die auch alle jeweils unendlich groß sind. Das Problem ist ich kann leider nicht beweisen, dass wenn ich alle diese Teilmengen vereinige, ich wieder die ganze Menge kriege. Eigentlich muss die Vereinigung diese Teilmengen die ganze Menge ergeben, was auch meine Behauptung ist, ein Beweis oder Gegenbeweis ist mir bis jetzt mislungen. Durch die Definition der Mengen, kann ich zwar ausschließen, dass man Elemente einer Teilmenge oder die ganze Teilmenge, wilkürlich entfernen kann, aber dass ist ja leider kein Beweis.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe ein Beispiel gemacht, wie man eine unendliche Menge vollständig in paarweise disjunkte Teilmengen zerlegen kann. Dieses Beispiel kann man in vieler Hinsicht verallgemeinern, man kann etwa von größeren Mengen oder höheren Potenzen ausgehen. Man kann auch jede Äquivalenzrelation einer beliebigen (unendlichen) Menge zur Klassenzerlegung benutzen.

Ganz bestimmt geht das auch oft mit Funktionen f von A nach B, nur muss man dann eben klar und deutlich sagen, was A und B und f sein soll. Wenn man einfache Zerlegungen so kompliziert beschreibt, dass man die Beschreibung nicht mehr versteht, weiß ich auch nicht, wozu das gut sein soll.
Paradox Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Ich habe ein Beispiel gemacht, wie man eine unendliche Menge vollständig in paarweise disjunkte Teilmengen zerlegen kann. Dieses Beispiel kann man in vieler Hinsicht verallgemeinern, man kann etwa von größeren Mengen oder höheren Potenzen ausgehen. Man kann auch jede Äquivalenzrelation einer beliebigen (unendlichen) Menge zur Klassenzerlegung benutzen.

Ganz bestimmt geht das auch oft mit Funktionen f von A nach B, nur muss man dann eben klar und deutlich sagen, was A und B und f sein soll. Wenn man einfache Zerlegungen so kompliziert beschreibt, dass man die Beschreibung nicht mehr versteht, weiß ich auch nicht, wozu das gut sein soll.

Also ich selbst versteh die Beschreibung, jedoch muss es ja nicht unbedingt heissen, dass auch andere es verstehen, hab ich ja schon mehrfach dieses problem zugegeben.
Paradox Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Ganz bestimmt geht das auch oft mit Funktionen f von A nach B, nur muss man dann eben klar und deutlich sagen, was A und B und f sein soll. Wenn man einfache Zerlegungen so kompliziert beschreibt, dass man die Beschreibung nicht mehr versteht, weiß ich auch nicht, wozu das gut sein soll.

OK dann versuch ich noch mal. An der Stelle soll auch gesagt sein, dass ales mit ausnahme der Behauptung die zu beweisen ist, bereits bewiesen ist.
Also am Anfang hab ich die Menge , ein n>1, so wie die 2 Abbildungen f und h und damit konstruire ich die Teilmengen . Es lässt sich wircklich für jedes konstruiren, wobei auch insbesondere gilt . Befor ich aber zur Definition einer solcher Teilmenge komme, zuers die Abbildungsvorschriften für f und h:
f(a)=
h(b)=(/(b mod (-1))-1)/(-1)
Die Abbildung h sieht schon obskure aus, aber es muss wohl auch so sein, damit die Bildmengen von f und h disjunkt bleiben.
Nun zur definition von :
und (Symetrie?). Da ja immer gilt muss es ja mindestens ein existieren, hoffe das ist klar.
Nun komme ich zur der Menge , die ist dann definiert {f(a)|} und dann der vollständigkeit halber gibts noch . Des weiteren gibts die Menge mit ={a| a mod (-1)= }. Nur die Mengen sind als Urbildmengen für Abbildung h geeignet.
Nun kommt eine weitere definition:
und (Symetrie?). Also j=i+1.
Ich hofe es ist jetzt klar wie die Mengen definiert sind, sollt doch was fehlen, so war es wirklich keine Absicht, ich hab wircklich versucht es so vollständig zu beschreiben wie möglich.
Die behauptung lautet dann .
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Nimm es mir bitte nicht übel, ich verstehe es nicht.
Paradox Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Nimm es mir bitte nicht übel, ich verstehe es nicht.

Was genau?
OK, vieleich hab ich doch nicht ganz vollständig definiert, war mir ja nicht sicher ob es mathematisch korekt ist, aber es scheint wohl OK zu sein, dass ich definieren kann . Also hier noch mal alle 3 Definitionen zusammen:
1.
2.
3. j=i+1
Also aus 1. erhält man wändet man 2. darauf an so erhält man die komplete Menge . Auf wendet man nun 3. an und erhält so dadrauf wieder 2. angewändet erhält man die komplete Menge . Damit müsste doch das prinzip, wie die Mengen konstruirt werden, klar sein?
Wie die jeweiligen Teilmengen definiert sind, steht ja bereits oben.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Kann sein, kann auch nicht sein. Ich habe keine Lust, aus allen Bruchstücken eine vollständige Definition zu basteln. Wenn du das auch nicht willst, musst du es auch nicht machen. Wenn dir an meiner Mitarbeit liegt musst du mehr bringen als Puzzlespiele.
Paradox Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Kann sein, kann auch nicht sein. Ich habe keine Lust, aus allen Bruchstücken eine vollständige Definition zu basteln. Wenn du das auch nicht willst, musst du es auch nicht machen. Wenn dir an meiner Mitarbeit liegt musst du mehr bringen als Puzzlespiele.

Also wie ich schon sagte, ich mach hier keine Puzzlespiele und verschweige auch nix. Vieleicht bin ich aber einfach viel zu demlich um eine verständliche Definition zu machen. Eins kann ich aber sagen, ich dem Thread sicher nicht gestartet um dich oder sonst jemandem zu ärgern. Wenn du mir sagen würdest, was genau du an meiner Definition unverständlich oder falsch findest, könnte ich es vieleicht korrigieren. An der Kernaussage meiner Behauptung hab ich aber nicht wirklich was geändert:
Ich habe die Menge die auf jeden Fall die 1 enthällt, da drauf wende ich die Abbildung f an und erhalte so das nexte Element der Menge. Das ganze wiederhole ich dan rekursive und erhalte unendlich viele Elemente der Menge. Somit weis ich nun wie die Menge aussieht. Für alle Element dieser Menge, für die auch Abbildung h definiert ist, wende ich h an und die Ergebnise davon liegen alle in der Menge . Jetzt wiederhole ich das ganze für , dann später für usw.. Am Ende habe ich unendlich viele paarweise disjunkte Mengen, die auch alle selbst unendlich groß sind. Was ist daran unverständlich? Wenn du mir das Problem erklärst, kann ich auch was machen.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Und wieder nur Gerede über irgendwas. Das ist langweilig. Ich werde nicht zurückblättern um aus Teilen von Aussagen etwas zu bauen. Wenn du etwas willst, dann musst du die Vorarbeit machen, sonst macht sie niemand.
Paradox Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Und wieder nur Gerede über irgendwas. Das ist langweilig. Ich werde nicht zurückblättern um aus Teilen von Aussagen etwas zu bauen. Wenn du etwas willst, dann musst du die Vorarbeit machen, sonst macht sie niemand.

Es tut mir leid, aber ich verstehe nicht was genau du mit Vorarbeit meinst? Also wenn du zumindest einen kleinen Tip geben würdest, was fehlt, mach ich die Arbeit gern.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Großer Tipp: Vergiß alles was du bisher geschrieben hast und fange noch einmal von vorne an.
Schreibe : Voraussetzungen ... und schreibe alle Voraussetzungen auf.
Schreibe : Vermutung, Behauptung ... und schreibe alles auf was du vermutest oder behauptest.
Schreibe : Hilfssatz 1,2,3 ... und formuliere und beweise die Hilfssätze, die du beweisen kannst.
Schreibe : Satz 1,2,3 ... und formuliere und beweise die Sätze, die du beweisen kannst.
Schreibe Theorem ... und formuliere den Satz, der dir dabei am wichtigsten ist, beweise ihn soweit du kannst und sage, was du nicht verstehst oder nicht beweisen kannst.

Wenn du irgendwann eine Funktion definieren möchtest, dann benötigst du eine Definitionsmenge , eine Zielmenge und
entweder : eine Zuordnungsvorschrift
oder : den Funktionsgraph
Paradox Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Großer Tipp: Vergiß alles was du bisher geschrieben hast und fange noch einmal von vorne an.
Schreibe : Voraussetzungen ... und schreibe alle Voraussetzungen auf.
Schreibe : Vermutung, Behauptung ... und schreibe alles auf was du vermutest oder behauptest.
Schreibe : Hilfssatz 1,2,3 ... und formuliere und beweise die Hilfssätze, die du beweisen kannst.
Schreibe : Satz 1,2,3 ... und formuliere und beweise die Sätze, die du beweisen kannst.
Schreibe Theorem ... und formuliere den Satz, der dir dabei am wichtigsten ist, beweise ihn soweit du kannst und sage, was du nicht verstehst oder nicht beweisen kannst.

Wenn du irgendwann eine Funktion definieren möchtest, dann benötigst du eine Definitionsmenge , eine Zielmenge und
entweder : eine Zuordnungsvorschrift
oder : den Funktionsgraph

Vielen Dank für die Erklärung, wie ich bereits sagte, liegt mein Mathestudium schon ne Weile zurück, deswegen bin ich da momentan nicht mehr ganz so mit den ganzen Formalitäten vertraut. Ich will auch an der Stelle noch mal darauf hinweisen, dass es bei meinem Problem auch um Keine Aufgabe von der Uni handelt, falls es noch nicht klar geworden ist. Auch geht mir hier weniger um eine Beweisführung, sondern um ein Ansatz, wenn ich ehrlich bin hab ich kein Ansatz gefunden, vermute das war auch das größte Problem bis jetz.
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