Volumen durch Ebenen und Fläche bestimmen

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ericfun11 Auf diesen Beitrag antworten »
Volumen durch Ebenen und Fläche bestimmen
Meine Frage:
Hi,

ich habe zu einer aufgabe echt gar keine ahnung und weiß nicht mal wie ich da vorgehen soll. hier der link zu der aufgabe: https://ibb.co/svXwfnC

hoffe jemand kann mir das erklären oder sogar zeigen, danke smile

Meine Ideen:
ich nehme an, dass es ein dreifachIntegral sein wird





Originalaufgabe eingefügt, da der externe Link erlöschen kann.
klauss
rumar Auf diesen Beitrag antworten »
Zeichnung; Integrationsreihenfolge
Hallo ericfun11

Man muss sich zuerst eine geometrische Übersicht über das Raumgebiet verschaffen, welches hier beschrieben wird.
Nach meiner Skizze kann man sich da eine Art schief abgeschnittenen zylinderartigen Körper vorstellen. Dessen Grundfläche liegt in der x-y-Ebene (also in der Ebene mit der Gleichung z=0) und hat die Form eines Parabelsegments, begrenzt durch die Parabel mit der Gleichung x=y^2 und die Gerade x+y=2 in dieser Grundebene.
Über dieser Grundfläche erhebt sich der Körper an jedem Punkt (x|y|0) bis zur Höhe h(x,y) = z = y+2 .
Zu überprüfen wäre zunächst, ob dabei keine negativen Werte von h(x,y) auftreten können.
Anschließend kann man sich um die Aufstellung des Zwei- oder Dreifachintegrals kümmern. Für die Reihenfolge der Integrationen hat man dabei mehr als eine Möglichkeit.

Mein Vorschlag dazu wäre folgendes Dreifachintegral, bei welchem ich vorerst mal auf die Angabe der Integrationsgrenzen verzichte:

 
 
klauss Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeichnung; Integrationsreihenfolge
Ich greife rumars Überlegungen auf und nehme die Angaben noch weiter unter die Lupe:

Die Bedingung bedeutet, dass der Körper auf jeden Fall durch die x-y-Ebene begrenzt wird. Daher wäre es wünschenswert, eine Integration der Form

zu finden, also über ein Gebiet in der x,y-Ebene mit einer Funktion in z-Richtung als Deckfläche.
Schauen wir also, ob das hinkriegen.
Die Ebene schneidet die x-y-Ebene bei z=0, dort gilt für die Schnittgerade: . Diese Ebene ist parallel zur z-Achse, kann also nicht als Deckfläche herhalten.
Die Ebene schneidet die x-y-Ebene bei z=0, dort gilt für die Schnittgerade: . Diese Ebene ist parallel zur x-Achse und schräg im Raum, schneidet die x-z-Ebene bei y=0 in z=2.
Die Angabe "Fläche" scheint mir unpassend formuliert; die Relation führt zu einer gedrehten Parabel in der x-y-Ebene mit .

Danach stellt sich das mögliche Integrationsgebiet in der x,y-Ebene dar wie in dem angehängten Bild, als Deckfläche bleibt nur die Ebene . Für y>=-2 nimmt die Funktion nur nichtnegative Werte an.

Aus dem Bild ist ersichtlich, dass es sich anbietet, das dy-Integral nach außen zu nehmen, wenn wir über das von den Graphen begrenzte Gebiet in einem Rutsch durchintegrieren wollen.
Daher wäre mein Vorschlag zur Volumenberechnung


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