Lösen der Gleichung nach Unbekannter h

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27.09.2019, 17:53	frighter	Auf diesen Beitrag antworten »
Lösen der Gleichung nach Unbekannter h Hi, folgende Gleichung möchte ich nach h umstellen/auflösen: $\begin{eqnarray} V=L(r^{2}arccos(\frac{r-h}{h})-(r-h)\sqrt{2rh - h^{2} }) \end{eqnarray}$ Mein bisheriger Stand: $\begin{eqnarray} \frac{V}{L}=L(r^{2}arccos(\frac{r-h}{h})-(r-h)\sqrt{2rh - h^{2} }) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{V}{L}=r^{2}arccos(\frac{r-h}{h})-(r-h)\sqrt{2rh - h^{2} }) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (\frac{V}{L})²=r^{4}(arccos(\frac{r-h}{h}))²-(r-h)²(2rh - h^{2}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (\frac{V}{L})²=r^{4}(arccos(\frac{r-h}{h})arccos(\frac{r-h}{h})-(r²-2rh+h²)(2rh - h^{2}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (\frac{V}{L})²=r^{4}(arccos(\frac{r-h}{h})arccos(\frac{r-h}{h})-2r³h-r²h²-4r²h²+2rh³+2rh³ - h^{4} \end{eqnarray*}$ Schätze, die arccos müssten jetzt mal weg. Wäre super, wenn mir jemand den weiteren Weg aufzeigen könnte. LG
27.09.2019, 18:13	G270919	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lösen der Gleichung nach Unbekannter h Man kann die Gleichung algebraisch nicht nach h umstellen.
27.09.2019, 19:21	frighter	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lösen der Gleichung nach Unbekannter h Hi, danke für die rasche Antwort. Ich stelle das Problem mal kurz dar: Die Gleichung ist für das Volumen eines liegenden Zylinders. Ich brauche aber eine Gleichung für die Höhe und falls möglich zusätzlich die Querschnittsfläche der Flüssigkeitsoberfläche in dem liegenden Zylinder in Abhängigkeit des bekannten Volumens. Gibt es mit der Gleichung eine Möglichkeit darauf zu kommen oder kennt jemand einen anderen Weg. LG
27.09.2019, 20:01	hawe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lösen der Gleichung nach Unbekannter h z.B. numerisch mit GeoGebra [attach]49741[/attach] auch https://www.geogebra.org/m/htqh7zdn EDit: Kann es sein, dass Deine Formel falsch ist? Ich hab $\begin{eqnarray} V(L_o, r_o, h_o) \, := \, L_o \; r_o^{2} \; cos^{-1} \left( \frac{r_o - h_o}{r_o} \right) - L_o \; \left(r_o - h_o \right) \; \sqrt{2 \; h_o \; r_o - h_o^{2}} \end{eqnarray}$ z.B.: V(5,1,2) = 1^2 pi 5 = 15.70796326795 V(5,1,1.26)=10.42438384979 NSolve(V(5,1,x)-10.42438384979,x) = 1.26
28.09.2019, 11:13	rumar	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lösen der Gleichung nach Unbekannter h Das sieht sehr, sehr ähnlich aus wie eine etwas andere Gleichung, die hier erst gerade gestellt wurde: Komplizierte Umformung Dort habe ich vorgeschlagen, anstelle der Unbekannten h zunächst den Winkel als Hilfsvariable zu nehmen, welcher in der Gleichung zu erkennen ist. Hier wäre dies der Winkel $\begin{eqnarray} \qquad \varphi\ =\ arccos\left(\frac{r-h}{h}\right) \end{eqnarray}$ bzw. (wie ich vermute - siehe die Bemerkung von hawe) $\begin{eqnarray} \qquad \varphi\ =\ arccos\left(\frac{r-h}{r}\right) \end{eqnarray}$ Für diesen Hilfswinkel wird eine wesentlich einfachere (allerdings ebenfalls nicht algebraisch lösbare) Gleichung entstehen ! Du hast gemeint, "arccos müsste weg" - ich sehe es so ziemlich umgekehrt: Mach den arccos (bzw. den Winkel, den er repräsentiert) zur Hauptvariablen ! Es lebe der Arcus Cosinus .....
28.09.2019, 11:28	frighter	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, danke für die Hilfe und Lösung. Anmerkung: Ich habe bei der ersten Eingabe einen Fehler gemacht - richtigerweise muss im Nenner "r" stehen. Falls es jemand weiß: Welche Genauigkeit kann ich bei Geogebra erwarten bzw. was ist der maximale Fehler? LG
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28.09.2019, 11:39	rumar	Auf diesen Beitrag antworten »
Zunächst zu Geogebra: Keine Sorge, die Ergebnisse sind so genau wie die vom Taschenrechner. Die Genauigkeit der Anzeige (Rundung) kann man einstellen. Ich würde aber jetzt empfehlen, dass du dich zunächst um die Aufstellung der neuen Gleichung mit der Unbekannten $\begin{eqnarray} \quad \varphi\,=\, cos^{-1}\left(\frac{r-h}{r}\right)\quad \end{eqnarray}$ kümmerst. Aus $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ ergibt sich dann $\begin{eqnarray} \ h \ \end{eqnarray}$ nach der Gleichung $\begin{eqnarray} \quad h\ =\, r\cdot (1-cos(\varphi)) \end{eqnarray}$
28.09.2019, 15:18	frighter	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, soweit ich verstehe ist der Winkel $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ zwischen der waagerechten geraden im Mittelpunkt der Kreisfläche und der dazu senkrechten Geraden in der betrachteten Höhe - siehe: https://iwer.info/article/Mathematisches...nder/index.html Man müsste also eine Beziehung zwischen Volumen, Radius und $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ herstellen.
29.09.2019, 17:37	frighter	Auf diesen Beitrag antworten »
@ hawe: Was bedeutet bei der Numerischen Lsg. die Angabe "-2.5,x" ? Das das Volumen um 2.5 abnimmt?
29.09.2019, 20:24	rumar	Auf diesen Beitrag antworten »
Lösung mit Winkel als Variable Guten Abend frighter Am ehesten würde ich empfehlen, die Volumenformel "from scratch" mit der neuen Variablen herzuleiten. $\begin{eqnarray} \qquad \quad \qquad \end{eqnarray}$ [attach]49747[/attach] Das Volumen der Flüssigkeit im zylindrischen Tank (Rotationsachse horizontal; Zylinderlänge $\begin{eqnarray} L \end{eqnarray}$ , Zylinderradius $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ , Pegelstand $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ ) berechnet man als $\begin{eqnarray} \qquad V\ =\ L \cdot Q \end{eqnarray}$ , wobei Q der Flächeninhalt des Kreissegments unterhalb der Flüssigkeitsoberfläche ist. Diesen Flächeninhalt Q berechnet man als $\begin{eqnarray} \qquad Q\ =\ S\,-\, D \end{eqnarray}$ wobei S der Flächeninhalt des Kreissektors mit Radius r und Zentriwinkel $\begin{eqnarray} 2\, \varphi \end{eqnarray}$ ist und D der Inhalt des Dreiecks, das man vom Sektor S wegnehmen muss, um als Rest das Segment Q zu erhalten. Für S und D gelten die Formeln: $\begin{eqnarray} \qquad S\ =\ r^2 \cdot \varphi \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \qquad D\ =\ u\, \cdot\, v \qquad \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} \quad u\ =\ r\cdot cos(\varphi)\quad \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \quad v\ =\ r\cdot sin(\varphi) \end{eqnarray}$ Also folgt: $\begin{eqnarray} \qquad V\ =\ L\,\cdot\,\left(\, r^2 \cdot \varphi \ -\ r\cdot sin(\varphi)\,\cdot \, r\cdot cos(\varphi) \right) \end{eqnarray}$ oder: $\begin{eqnarray} \qquad V\ =\ L\,\cdot\, r^2 \cdot \left( \, \varphi \ -\ sin(\varphi)\,\cdot \, cos(\varphi) \right)\ \ =\ \ L\,\cdot\, r^2 \cdot \left(\, \varphi \ -\ \frac{sin(2\varphi)}{2}\right) \end{eqnarray}$ Für die Hilfsvariable $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ ergibt sich somit die Bestimmungsgleichung: $\begin{eqnarray} \qquad \varphi \ -\ \frac{sin(2\varphi)}{2}\ =\ \frac{V}{L\cdot r^2} \end{eqnarray}$ Hat man den Wert von $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ durch numerische Rechnung bestimmt, gilt dann: $\begin{eqnarray} \qquad h\ =\ r\,\cdot\, (1-cos(\varphi)) \end{eqnarray}$
30.09.2019, 19:43	frighter	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke dafür, sehr gute Herleitung, die den gesamten Zusammenhang anschaulich erklärt. Meine Frage bezüglich der Numerischen Lösung bleibt noch offen, aber vielleicht löst die sich auch, wenn ich in Zukunft mit dem Programm etwas rumprobiere. LG

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