Hessematrizen der Umkehrfunktionen von Taylorreihen

28.09.2019, 08:36

levithomas

Hessematrizen der Umkehrfunktionen von Taylorreihen

Hallo zusammen,

ich befürchte, ich suche nicht nach den richtigen Begriffen. Vielleicht kann mir jemand die richtigen Begriffe oder sogar die Lösung sagen? Vielen Dank für die Hilfe!

Wenn ich die Umkehrfunktion einer Funktion von einer Variablen bestimmen möchte [bpsw. von $\begin{eqnarray*} y=x^2 \end{eqnarray*}$ ], so ist das in einfachen Fällen analytisch möglich [ $\begin{eqnarray*} x=\pm\sqrt{y} \end{eqnarray*}$ ] und in etwas komplizierten Fällen kann ich immerhin die Taylorreihe der Umkehrfunktion durch Koeffizientenvergleich ermitteln, siehe:
de.wikiversity.org/wiki/Taylorreihe/R/Umkehrfunktion/Bestimmung/Bemerkung oder
archive.lib.msu.edu/crcmath/math/math/s/s214.htm
==> Hat dieses Verfahren einen bestimmten Namen? Gibt es Verallgemeinerungen?

Wenn ich nun ein System von n Funktionen in Abhängigkeit von n Variablen habe [bspw. $\begin{eqnarray*} y1=x1^2+x2^2 \end{eqnarray*}$ & $\begin{eqnarray*} y2=x1^2-x2^2 \end{eqnarray*}$ ], so wird das analytisch meines Wissens im Allgemeinen mit dem System der Umkehrfunktionen nichts.
Aber die Taylorreihen des Systems der Umkehrfunktionen wären ja auch schon klasse:
Für den linearen Anteil ist im Beispiel die Jakobimatrix $\begin{eqnarray*} J=\begin{pmatrix} 2\cdot x1 & 2\cdot x2 \\ 2\cdot x1 & -2\cdot x2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Deren Determinante ist $\begin{eqnarray*} -8\cdot x1\cdot x2 \end{eqnarray*}$ , sodass für $\begin{eqnarray*} x1\neq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x2\neq 0 \end{eqnarray*}$ die Determinante ungleich Null ist, sodass Invertierbarkeit fast überall gegeben ist. Die Inverse der Jakobimatrix des Ausgangssystems liefert mir auch gleich die Jakobimatrix des Systems der Umkehrfunktionen an einem Entwicklungspunkt.
Die Hessematrizen des Ausgangssystems kann ich auch schnell aufstellen mit $\begin{eqnarray*} H1=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} H2=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
==> Mit welchem Verfahren berechne ich die Hessematrizen des Systems der Umkerfunktionen?

P.S.: Die Anteile höherer Ordnung des Systems der Umkehrfunktionen wären zwar auch grundsätzlich interessant, aber mir reichen die quadratischen Annäherungen der Umkehrfunktionen.

28.09.2019, 10:57

levithomas

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Ich habe nochmal recherchiert:

Für Funktionen einer Variablen werden
Dwight, H. B. Table of Integrals and Other Mathematical Data, 4th ed. New York: Macmillan, 1961.
und
Abramowitz, M. and Stegun, C. A. (Eds.). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, 1972
als Quellen genannten.

Für Funktionen mehrerer Variablen habe ich bis jetzt nur Veröffentlichungen gefunden, die sich mit dem numerischen Aufwand zur Berechnung der Koeffizienten der Umkehrfunktion beschäftigen, bspw.:
R. P. Brent and H. T. Kung, Fast algorithms for composition and reversion of multivariate power series (preliminary version), in Proceedings of a Conference on Theoretical Computer Science Department of Computer Science, University of Waterloo, Waterloo, Ontario (August 1977), 149-158.
Es gibt verschiedene Ansätze, bspw. über Nullstellensuche mit dem Newtonverfahren für jeden Koeffizienten der Umkehrfunktion. Das wird aber natürlich sehr aufwendig bei Funktionen mit n Variablen.
Ich benötige ja auch gar nicht die Koeffizienten vor den Variablentermen beliebiger Ordnung, sondern nur Formeln für die Hessematrizen der Umkehrfunktion. Vielleicht hat ja jemand eine Idee?

28.09.2019, 11:20

PWM

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Hallo,

grundsätzlich ist ja die 2. Ableitung ein bilinearer Operator (ob man den im endlich-dimensionalen Fall mit Hesse-Matrizen beschreiben will ist Geschmackssache). Es sei also $\begin{eqnarray*} S:\mathbb R ^n \to \mathbb R ^n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ ihre Inverse. Dann gilt also (lokal): $\begin{eqnarray*} S(T(x))=x \end{eqnarray*}$ .

Durch Differentiation: $\begin{eqnarray*} S'(T(x)) T'(x) v=v \end{eqnarray*}$ und daraus eben $\begin{eqnarray*} T'(x)v=S'(T(x))^{-1} v \end{eqnarray*}$ .

Durch erneutes Differenzieren:

$\begin{eqnarray*} S''(T(x))[T'(x)w,T'(x)v]+S'(T(x))T''(x)[w,v]=0 \end{eqnarray*}$

Daraus kann man jetzt die zweite Ableitung von T bestimmen, insbesondere komponentenweise, wenn man für w,v alle Kombinationen der Standard-Basis einsetzt.

Gruß pwm

29.09.2019, 00:53

levithomas

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Hallo,

vielen Dank schonmal.
Leider habe ich wohl noch ein Brett vor dem Kopf:
Was sind w & v?

29.09.2019, 11:56

PWM

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Hallo,

v und w sind beliebige Elemente des $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^n \end{eqnarray*}$ .

Wie gesagt, die erste Ableitung ist eine lineare Abbildung, die kann ich (hier) durch eine Matrix repräsentieren - die sog. Jacobimatrix. Es ist $\begin{eqnarray*} S'(x)v=J(x) \cdot v \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} v \in \mathbb R ^n \end{eqnarray*}$ .

Analog wird die zweite Ableitung durch eine bilineare Abbildung dargestellt, die eben zwei Argumente v,w hat. Für ein $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R ^n \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist die zweite Ableitung mit der Hessematrix: $\begin{eqnarray*} f''(x)=w^T \cdot H(x) \cdot v \end{eqnarray*}$ .

Für Deine Frage finde ich es einfacher mit der linearen bzw. bilinearen Schreibweise zu arbeiten.

Gruß pwm

30.09.2019, 14:11

levithomas

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Hallo,

vielen Dank nochmal!

Ich habe leider nochmal ein paar Verständnisfragen:
$\begin{eqnarray*} S(T(x))=x \end{eqnarray*}$ ist klar.
Der Ansatz, diese Gleichung abzuleiten, ist auch soweit klar.
Aber wieso ergibt sich dann auf der linken Seite $\begin{eqnarray*} S&#8242<img src="images2/smilies/mecry.gif" border="0" alt="traurig" title="traurig" /> T(x))T&#8242<img src="images2/smilies/mecry.gif" border="0" alt="traurig" title="traurig" /> x)v=v \end{eqnarray*}$ und nicht einfach nur $\begin{eqnarray*} S&#8242<img src="images2/smilies/mecry.gif" border="0" alt="traurig" title="traurig" /> T(x))T&#8242<img src="images2/smilies/mecry.gif" border="0" alt="traurig" title="traurig" /> x) \end{eqnarray*}$ und wieso auf der rechten Seite $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ ?

30.09.2019, 15:52

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Eine Anmerkung zu deiner eingangs gestellten Frage

Zitat:

==> Hat dieses Verfahren einen bestimmten Namen? Gibt es Verallgemeinerungen?

Die Lagrangesche Inversionsformel entwickelt zu einer gegebenen analytischen Funktion die Potenzreihe der Umkehrfunktion.

30.09.2019, 15:54

levithomas

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Sehe jetzt, dass hier eine Fehlermeldung "You can't use 'macro parameter character #' in math mode" ausgegeben wird. Daher nochmal der Beitrag:
Hallo,

vielen Dank nochmal!

Ich habe leider nochmal ein paar Verständnisfragen:
$\begin{eqnarray*} S(T(x))=x \end{eqnarray*}$ ist klar.
Der Ansatz, diese Gleichung abzuleiten, ist auch soweit klar.
Aber wieso ergibt sich dann auf der linken Seite $\begin{eqnarray*} S^\prime(T(x))T^\prime(x)v=v \end{eqnarray*}$ und nicht einfach nur $\begin{eqnarray*} S^\prime(T(x))T^\prime(x) \end{eqnarray*}$ und wieso auf der rechten Seite v?

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