Junge-oder-Mädchen-Problem berechnen?

28.09.2019, 10:22

Timo1995

Junge-oder-Mädchen-Problem berechnen?

Grüße,

ich habe mal eine Frage zum J-o-M-Problem.

Die Aufgabenstellung ist ja hinlänglich bekannt: Eine Familie hat zwei Kinder, eines der beide ist ein Jünger (keine Angabe ob der das jüngere oder ältere) und die Frage lautet wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass beides Jungs sind.

Grundsätzlich kann man die Aufgabe ohne Stuft und Papier lösen.

Es gibt 4 Fälle: JJ, JM, MJ, MM.

Da einer ein Junge sein muss, fällt Fall 4 flach, also bleiben 3 Fälle, einer davon (JJ) ist der richtige. Also ist die Wahrscheinlichkeit 1/3.

Aber kann man das auch berechnen? Big Laugh

Weil die Lösung so offensichtlich ist, will mir nicht einfallen, ob man das Ergebnis auch rechnerisch hätte ermitteln können.

Wäre für einen kleinen Fingerzeig dankbar,

Danke!

28.09.2019, 10:50

Elvis

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Die Wahrscheinlichkeit ist nach Kolmogoroff die Anzahl der günstigen Fälle dividiert durch die Anzahl der möglichen Fälle. Hier gilt also $\begin{eqnarray*} p=\frac {|\{JJ\}|}{|\{JJ,JM,MJ\}|}=\frac 1 3 \end{eqnarray*}$ . Genau so hast du das berechnet, der Bruch $\begin{eqnarray*} \frac 1 3 \end{eqnarray*}$ ist das Ergebnis deiner Rechnung. Mehr rechnen als rechnen geht nicht.

28.09.2019, 11:47

Timo1995

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Danke Elvis Big Laugh

Ich hatte gedacht, dass es für das Offensichtliche noch irgendeine verkomplizierte Rechnung gibt, mit dem man am Ende auch auf 1/3 kommt.
War nur Interesse halber.

Schönes WE

28.09.2019, 17:18

klauss

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Zitat:

Original von Timo1995
irgendeine verkomplizierte Rechnung

Kannst Du gern haben. Ich finde die sowieso viel schöner, da ich es für kontraproduktiv halte, Schülern zu suggerieren, es gäbe für jede Aufgabe eine "offensichtliche" Lösung und/oder eine passende Formel. Die ausführlichere Rechnung ist viel lehrreicher, da man sie auf kompliziertere Sachverhalte erweitern kann.

Seien die Ereignisse
$\begin{eqnarray*} J_{k}, M_{k} \end{eqnarray*}$ : Das k-te Kind ist ein Junge/Mädchen, $\begin{eqnarray*} k= 1, 2 \end{eqnarray*}$
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kinder Jungen sind unter der Bedingung, dass mindestens ein Kind ein Junge ist.

$\begin{eqnarray*} P[(J_{1}\cap J_{2}) |(J_{1} \cap M_{2})\cup (M_{1}\cap J_{2})\cup (J_{1}\cap J_{2})]= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P[(J_{1}\cap J_{2}) |(\overline{M_{1}\cap M_{2}})]= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{P[(\overline{M_{1}\cap M_{2}})\cap (J_{1}\cap J_{2})]}{P(\overline{M_{1}\cap M_{2}})} = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{P (J_{1}\cap J_{2})}{P(\overline{M_{1}\cap M_{2}})} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} }{1-\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} } =\frac{\frac{1}{4} }{\frac{3}{4} } =\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

Kurze Frage noch zum Abschluß:

Zitat:

Original von Timo1995
eines der beide ist ein Jünger

Wessen?

28.09.2019, 19:10

andyrue

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ich hab ein problem mit den hier geposteten antworten.

ich hab die aufgabe auf folgendes modell reduziert:

ich habe eine ideale münze, auf der einen seite steht ein J, auf der anderen ein M

ich werfe eine münze zweimal hintereinander. beide würfe sind stochastisch unabhängig.

nun werfe ich beim ersten mal ein J

die chance, dass auch der zweite wurf ein J ist, liegt also bei 50%

denn die reihenfolge der geburt ist für die fragestellung doch irrelevant.

andyrue

28.09.2019, 19:23

klauss

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Zitat:

Original von andyrue
ich hab die aufgabe auf folgendes modell reduziert:

Dann dürfte das Dein Problem sein, denn Du betrachtest im Folgenden
$\begin{eqnarray*} P(J_{2} |J_{1}) \end{eqnarray*}$
und nicht die von Timo1995 gesuchte bedingte Wahrscheinlichkeit.

28.09.2019, 22:20

andyrue

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danke, habs grad durchschaut,

andy

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