Zeige, dass die Menge offen ist

28.09.2019, 12:25	reki	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeige, dass die Menge offen ist Meine Frage: Hallo, ich soll zeigen, dass die Menge $\begin{eqnarray} M:=\{(x,y,z) \in \mathbb R ^3 \| 0 < \sin(x) + \sin(y) + \sin(z) < 1\} \end{eqnarray}$ offen ist. Meine Ideen: Meine Idee war das Komplement der Menge zu betrachten und zu zeigen, dass es abgeschlossen ist. Es gilt: $\begin{eqnarray} M^c:=\{(x,y,z) \in \mathbb R ^3 \| \sin(x) + \sin(y) + \sin(z) \leq 0 \vee \sin(x) + \sin(y) + \sin(z) \geq 1\} \end{eqnarray}$ . Dann wähle eine beliebige konvergente Folge $\begin{eqnarray} (x_n,y_n,z_n) \in M^c \end{eqnarray}$ , die gegen $\begin{eqnarray} (x,y,z) \in \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ konvergiert. Dann gilt: $\begin{eqnarray} \sin(x_n) + \sin(y_n) + \sin(z_n) \leq 0 \vee \sin(x_n) + \sin(y_n) + \sin(z_n) \geq 1 \end{eqnarray}$ . 1. Fall: $\begin{eqnarray} \sin(x_n) + \sin(y_n) + \sin(z_n) \leq 0 \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } \sin(x_n) + \sin(y_n) + \sin(z_n) \leq 0 \end{eqnarray}$ . Da Sinus stetig also $\begin{eqnarray} \sin(x) + \sin(y) + \sin(z) \leq 0 \end{eqnarray}$ . Also ist $\begin{eqnarray} (x,y,z) \in \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ . 2. Fall: $\begin{eqnarray} \sin(x_n) + \sin(y_n) + \sin(z_n) \geq 1 \end{eqnarray}$ analog wie 1. Also folgt das M^c abgeschlossen ist und somit M offen. Wäre das denn richtig?
28.09.2019, 12:28	reki	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei der Folgerung im 1. Fall meinte ich $\begin{eqnarray} (x,y,z) \in M^c \end{eqnarray}$ .
28.09.2019, 13:27	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
M ist das Urbild des offenenen Intervalls (0,1) unter einer stetigen Funktion, also offen.
28.09.2019, 13:42	reki	Auf diesen Beitrag antworten »
Wäre mein Weg denn auch richtig?
28.09.2019, 16:26	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, aber aus meiner Sicht zu umständlich.
28.09.2019, 16:46	reki	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke dir
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