Abzählbar unendlich

28.09.2019, 16:00	rookie36	Auf diesen Beitrag antworten »
Abzählbar unendlich Meine Frage: Es soll gezeigt werden, dass die folgende Menge abzählbar ist $\begin{eqnarray} M = \end{eqnarray}$ { $\begin{eqnarray} S \subset \mathbb N \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ ist endlich oder $\begin{eqnarray} \mathbb N \ S \end{eqnarray}$ ist endlich} Meine Ideen: Man muss eine bijektive Funktion von \|N nach S konstruieren (oder umgekehrt). Mir fällt jedoch keine Abbildungsvorschrift ein, die passen könnte. Könnt ihr mir bitte helfen? Danke!!!!
28.09.2019, 16:08	G280919	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abzählbar unendlich Was soll N S bedeuten?
28.09.2019, 16:59	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Jede endliche Menge $\begin{eqnarray} S\in M \end{eqnarray}$ enthält ein maximales Element $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ . Es gibt nur endlich viele Teilmengen in $\begin{eqnarray} \{1,...,n\} \end{eqnarray}$ . Also nur abzählbar viele endliche Teilmengen in $\begin{eqnarray} \mathbb N \end{eqnarray}$ . Ebenso für die Komplemente $\begin{eqnarray} \mathbb N\backslash S \end{eqnarray}$ . "Reißverschlußverfahren" zeigt die Behauptung.
28.09.2019, 21:32	rookie36	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, aber ich weiß einfach nicht, wie sich mithilfe dieser Information eine bijektive Funktion konstruieren lässt. "Reißschlussverfahren" ... meinst du damit die Beweismethode, mit der man bewiesen hat, dass jede unendliche Menge eine abzählbar unendliche Teilmenge besitzt?
28.09.2019, 21:57	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Elvis meint folgendes: Wenn zwei Mengen $\begin{eqnarray} A,B \end{eqnarray}$ abzählbar unendlich sind, gibt es Abzählungen, das sind bijektive Folgen $\begin{eqnarray} (a_k)\colon\mathbb N\to A \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (b_k)\colon\mathbb N\to B \end{eqnarray}$ . Nun lässt sich eine neue Folge konstruieren, $\begin{eqnarray} (a_1,b_1,a_2,b_2,a_3,b_3,\ldots), \end{eqnarray}$ nennen wir sie Reißverschlussfolge. Diese liefert nach dem Entfernen doppelter Elemente eine Abzählung von $\begin{eqnarray} A\cup B \end{eqnarray}$ . Die Menge $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ ist gerade von dieser Gestalt: $\begin{eqnarray} M = \{S\subset\mathbb N\colon \|S\|<\|\mathbb N\|\}\cup \{S\subset\mathbb N\colon \|\mathbb N\setminus S\|<\|\mathbb N\|\} \end{eqnarray}$
29.09.2019, 11:12	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Zum Beispiel sind die ganzen Zahlen (nach dem "Reißverschlußverfahren") abzählbar: 0,1,-1,2,-2,3,-3,... weil es die natürlichen und die negativen Zahlen sind. Insgesamt lautet die Aufgabe nicht "Gib eine bijektive Funktion an." sondern "Zeige, dass die Menge M abzählbar ist.". Wenn du willst, darfst du meine Ideen benutzen, um eine bijektive Funktion wirklich anzugeben, aber das ist nicht Pflicht sondern Kür.
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29.09.2019, 16:13	rookie36	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach so, danke ihr beiden! Ich verstehe, was ihr meint. Aber verstehe ich das richtig: die Menge $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ ist die Vereinigung von (a) der Menge aller endlichen Teilmengen von $\begin{eqnarray} \mathbb N \end{eqnarray}$ und von (b) der Menge gewisser abzählbar unendlichen Teilmengen von $\begin{eqnarray} \mathbb N \end{eqnarray}$ ? Dass die Menge von (a) abzählbar unendlich ist, ist mir klar; aber woher wissen wir, dass die von (b) es auch ist?
29.09.2019, 17:40	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} S\in M\Leftrightarrow \mathbb N=S\,\dot\cup\, \mathbb N\backslash S \end{eqnarray}$ , also gibt es genau so viele endliche wie coendliche Teilmengen von $\begin{eqnarray} \mathbb N \end{eqnarray}$ . Das ist so wie bei den ganzen rationalen Zahlen, da gibt es genau so viele positive wie negative.

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