Krummlinige Koordinaten: Zu gegebener Parameterdarstellung die Flächengleichung finden.

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Analytiker19 Auf diesen Beitrag antworten »
Krummlinige Koordinaten: Zu gegebener Parameterdarstellung die Flächengleichung finden.
Meine Frage:
Hallo,

ich habe folgende Aufgabenstellung:

Gegeben sei folgende Parametrisierung:

x = u * v * cos(phi)
y = u * v * sin(phi)
z = (u^2 - v^2) / 2

u >= 0 ; v >= 0; phi ist aus [0, 2*Pi] . u, v, phi sind reelle Zahlen.

Finde zu der Parametrisierung eine dazugehörige Flächengleichung.

(Normalerweise ist die Flächengleichung gegeben und man soll eine Parametrisierung finden. Hier ist es mal umgekehrt.)

Meine Ideen:
Da die der xy-Ebene parallelen Schnitte Ellipsen sind, habe ich an ein elliptisches Paraboloid gedacht. Die Flächengleichung hierfür ist :

z = (x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) ; a , b sind feste reelle Zahlen

Wenn ich aber die in der Aufgabenstellung angegebene Parametrisierung in diese Flächengleichung einsetze, kommt partout keine Identität heraus.
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Die von dir vorgelegte Parametrisierung beschreibt einen parametrisierten Raum.

Wenn du mit Flächengleichung eine implizite Fläche meinst, die gibt es zu einer parametrisierten Fläche. Wie willst du bei dem parametrisierten Raum eine Fläche erhalten? Willst du einen Parameter fixieren?
 
 
matrix4711 Auf diesen Beitrag antworten »
Re
Meine Frage:
Antwort

Meine Ideen:
Ich denke, Analytiker19 meint die Aufgabenstellung so:

Um mir viele Worte zu sparen, mache ich die Aufgabenstellung an einer einfacheren Aufgabenstellung klar:

Gegeben sei die Parametrisierung:

x = rho * cos(phi)
y = rho * sin(phi)

rho >= 0, phi aus [0, 2*Pi] rho und phi sind reelle Zahelen.


Dann lautet die Lösung:

Die dazugehörige Flächengleichung lautet:

x^2 + y^2 = R
R >= 0 R ist eine feste reelle Zahl.
matrix4711 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Re
Oder so ausgedrückt:

Gegeben ist

x = rho * cos(phi)
y = rho * sin(phi)

Dies löst die Gleichung

x^2 + y^2 = R^2

wenn ich setze: rho = R
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Da ist konstant gesetzt worden. Wenn man konstant setzt, bekommt man eine andere Kurve.

Was von soll nun bei Analytiker19 konstant sein, wenn das so gemeint ist?
matrix4711 Auf diesen Beitrag antworten »

Man soll etwas finden, zudem die angebene Parametrisierung passt.

Bei

x = rho * cos(phi)
y = rho * sin(phi)

fallen mir spontan ebene Polarkoordinaten ein.

Da passt der Deckel zum Eimer.
matrix4711 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke Analytiker2019 sucht eigentlich 3 Flächengleichungen.
Flächengleichung 1 für fixiertes u, Flächengleichung 2 für fixiertes v und
Flächengleichung 3 für fixiertes phi.
matrix4711 Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist anschaulich leicht zu sehen, dass sich aus der gegebenen Raumparametrisierung für fixiertes u
ein elliptisches Paraboloid ergibt.
Für fixiertes v ergibt sich ebenso ein elliptisches Paraboloid.

Für fixiertes phi ergibt sich aus der Raumparametrisierung ein hyperbolisches Paraboloid.
Letzteres sieht man so:

Da u >= 0 und v >= 0 frei gewählt werden können, nimmt z wegen

Gleichung 1: z = (u^2 - v^2) / 2

jeden beliebigen Wert an. Also kann man die gesuchte Fläche nach z-Höhenlinien "scannen".
Für eine fixierte Höhe, also für fixiertes z, sind die Höhenlinien nach Gleichung 1 Hyperbeln. Dies ist charakteristisch für einen hyperbolischen Paraboloiden.

Um das ordentlich nachzuweisen muss man die Raumparametrisierung durch Fixieren von phi zu einer Flächenparametrisierung machen und diese in

Gleichung 2: z = x^2 - y^2

,welche einen hyperbolischen Paraboloiden beschreibt, einsetzen.

Vorsicht: Die Gleichung 2 beschreibt einen hyperbolischen Paraboloiden nicht in seiner allgemeinsten Form. Gleichung 2 "generiert" nur hyperbolische Paraboloiden, welche ihren tiefsten Sattelpunkt im Koordinatenursprung besitzen. Die allgemeinste Gleichung für einen hyperbolischen Paraboloiden habe ich gerade nicht parat.
Analytiker19 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja danke,

ich habe das Problem nicht gut formuliert. Aber so meine ich die Aufgebenstellung.

Kann mir jemand die allgemeinste Gleichungen für ein elliptisches Paraboloid und ein hyperbolisches Paraboloid beorgen?

Die Fläche kann ja im schlimmsten Fall vom Ursprung verschoben und zusätzlich gedreht sein.

Im Internet bin ich mit meiner Suchstrategie leider noch nicht fündig geworden.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Analytiker19
Aber so meine ich die Aufgebenstellung.

Bezieht sich das auf

Zitat:
Original von matrix4711
Ich denke Analytiker2019 sucht eigentlich 3 Flächengleichungen.
Flächengleichung 1 für fixiertes u, Flächengleichung 2 für fixiertes v und
Flächengleichung 3 für fixiertes phi.

verwirrt

Ein wenig deutlicher bzw. präziser könntest du dich schon äußern, nachdem sich matrix4711 so ausführlich ins Zeug gelegt hat.


Zitat:
Original von matrix4711
Für fixiertes phi ergibt sich aus der Raumparametrisierung ein hyperbolisches Paraboloid.

M.E. ergibt sich für fixiertes schlicht eine Ebene durch den Ursprung, und zwar mit Normalenvektor , d.h. mit Ebenengleichung . verwirrt
matrix4711 Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Lösung für fixiertes phi ergibt Ebenen die parallel zur z-Achse stehen. Bei einem Höhenschnitt, also bei einem Schnitt deiner Ebene mit einer z-Ebene entsteht dann eine Gerade. Die Höhenlinien der gesuchten Fläche sollten aber (siehe meinen früheren Beitrag) Hyperbeln sein?
matrix4711 Auf diesen Beitrag antworten »

Sehe gerade das unsere Untersuchungen gar keinen Widerspruch darstellen müssen,

da z. B. die Ursprungsgerade y = x die Hyperbel-Gleichung x^2 - y^2 = 0 = const. erfüllt.

Die Höhenlinien deiner Ebene sind Geraden, aber Geraden sind ganz spezielle Hyperbeln.
matrix4711 Auf diesen Beitrag antworten »

Eine so symmetrische Fläche wie eine Ebene ist ganz vieles. Insbesondere ist eine Ebene aber auch ein hyberbolisches Paraboloid.
matrix4711 Auf diesen Beitrag antworten »

Statt " Geraden sind ganz spezielle Hyperbeln. "
meinte ich:
"Geraden sind echte Teilmengen ganz spezieller Hyperbeln. "
matrix4711 Auf diesen Beitrag antworten »

"Insbesondere ist eine Ebene aber auch ein hyberbolisches Paraboloid. "
meine ich in diesem Sinne:
Die hyperbolischen Paraboloiden-Schar , welche durch die Gleichung:

x^2/p + y^2/p = z ; p ungleich 0

beschrieben werden, gehen im Grenzwert p gegen 0 in eine Ebene über.
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