Wurzeln komplexe Zahlen

28.09.2019, 22:36	DummeStudentin	Auf diesen Beitrag antworten »
Wurzeln komplexe Zahlen Meine Frage: Hallo zusammen, komme bei diesen Aussagen zum Verständin der Wurzeln im komplexen Bereich nicht draus: Genau eine der folgenden Aussagen ist korrekt. Welche? Jede komplexe Zahl ungleich Null hat drei dritte Wurzeln. Jede komplexe Zahl hat drei dritte Wurzeln. Jede komplexe Zahl hat genau eine dritte Wurzel. Es gibt komplexe Zahlen, die keine dritte Wurzel haben. Herzlichen Dank für eure Hilfe Meine Ideen: Meine Idee ist, das die erste Aussage korrekt ist, da z.b. 3sqrt(-8) = 8e^pij -> z0 = 2e^((pi/3)j) z1 = 2e^pij =-2 z2 = 2e^((5pi/3)j) ist
28.09.2019, 23:08	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine dritte Wurzel von $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ ist eine Lösung $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ der Gleichung $\begin{eqnarray} z^3 = a \end{eqnarray}$ . Da die komplexen Zahlen einen Körper bilden, sind sie nullteilerfrei. Demnach ist $\begin{eqnarray} z^3 = 0 \end{eqnarray}$ genau dann, wenn $\begin{eqnarray} z=0 \end{eqnarray}$ . Betrachten wir nun den Fall $\begin{eqnarray} a\ne 0 \end{eqnarray}$ . Benutze hier die Polarform $\begin{eqnarray} z = re^{i\varphi} \end{eqnarray}$ als Ansatz, das ergibt $\begin{eqnarray} r^3e^{3i\varphi} = a. \end{eqnarray}$ Dann muss $\begin{eqnarray} \|a\|=r^3 \end{eqnarray}$ sein. Demnach sind unterschiedliche Winkel gesucht, so dass $\begin{eqnarray} e^{3i\varphi} = \tfrac{a}{\|a\|}. \end{eqnarray}$ Wie findet man diese Winkel nun?

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