Darstellende Matrix bezgl. der Monombasis

29.09.2019, 17:54	matheknecht	Auf diesen Beitrag antworten »
Darstellende Matrix bezgl. der Monombasis Hallo, ich hatte irgendwann schonmal eine ähnliche Frage gestellt, aber würde gerne sichergehen, dass mein Ergebnis stimmt. Aufgabenstellung: ggb: Endormorphismus phi(p) = (xp)' + p'' im VR = P2 (VR aller maximal quadratischen Polynome) a) Darstellende Matrix von phi bezüglich der Monombasis bestimmen b) Eigenwerte und Eigenvektoren bestimmen Darstellende Matrix bestimmen:* Bilder der Monombasis ermitteln: phi(1) = (x * 1)' + 1'' = x' + 1'' = 1 + 0 = 1 phi(x) = (x * x)' + x'' = (x^2)' + x'' = 2x + 0 = 2x phi(x^2) = (x^2 * x)' + (x^2)'' = (x^3)' + (x^2)'' = 3x^2 + 2 Meine Matrix wäre somit: $\begin{eqnarray} \left(\begin{array}{ccc}<br /> 1 & 0 & 2\\<br /> 0 & 2 & 0\\<br /> 0 & 0 & 3\end{array}\right) \end{eqnarray}$ Eigenwerte und Eigenvektoren bestimmen: Charakteristisches Polynom (über Laplaceschen Entwicklungssatz, 1. Spalte): $\begin{eqnarray} \left(\begin{array}{ccc}<br /> 1 - y & 0 & 2\\<br /> 0 & 2 - y & 0\\<br /> 0 & 0 & 3 - y\end{array}\right) \end{eqnarray}$ det(A) = (1-y) * ((2-y) * (3-y)) => Eigenwerte = 1, 2 und 3 Gauß für Wert 1: $\begin{eqnarray} \left(\begin{array}{ccc\|c}<br /> 0 & 1 & 0 & 0\\<br /> 0 & 0 & 2 & 0\\<br /> 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right) \end{eqnarray}$ => x3 = 0 => x2 = 0 => x1 = x1 Eigenvektor = (x1, 0, 0), Eigenraum = { x * (1, 0, 0) } Gauß für Wert 2: $\begin{eqnarray} \left(\begin{array}{ccc\|c}<br /> -1 & 0 & 2 & 0\\<br /> 0 & 0 & 1 & 0\\<br /> 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right) \end{eqnarray}$ => x3 = 0 => x1 = 0 => x2 = x2 Eigenvektor = (0, x2, 0), Eigenraum = { x * (0, 1, 0) } Gauß für Wert 3: $\begin{eqnarray} \left(\begin{array}{ccc\|c}<br /> -2 & 0 & 2 & 0\\<br /> 0 & -1 & 0 & 0\\<br /> 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right) \end{eqnarray}$ => x2 = 0 => x1 = x3 => x3 = x3 Eigenvektor = (x3, 0, x3), Eigenraum = { x * (1, 0, 1) } Alles soweit korrekt, oder habe ich mich irgendwo verhaspelt? Viele Grüße
29.09.2019, 18:22	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ergebnisse sind alle richtig. Bei der Interpretation der Matrix nach Gauß schreibt man besser nicht x1=x1 (das ist immer richtig, bringt also keinen Erkenntnisgewinn), sondern x1=x (genau das machst du ja bei Angabe der Lösungsmenge). x1 hat auch im Eigenvektor nichts verloren. Man schreibt auch nicht x, weil das die Unbestimmte ist, sondern $\begin{eqnarray} t\in \mathbb R \end{eqnarray}$ , falls es sich um reelle Polynome handelt. Bei Vektorräumen muss man immer den Körper angeben.
30.09.2019, 07:02	matheknecht	Auf diesen Beitrag antworten »
Perfekt, dann erneut vielen Dank fürs Kontrollieren und die hilfreichen Tipps

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