Darstellende Matrix bezgl. der Monombasis

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matheknecht Auf diesen Beitrag antworten »
Darstellende Matrix bezgl. der Monombasis
Hallo,

ich hatte irgendwann schonmal eine ähnliche Frage gestellt, aber würde gerne sichergehen, dass mein Ergebnis stimmt.

Aufgabenstellung:

ggb: Endormorphismus phi(p) = (x*p)' + p'' im VR = P2 (VR aller maximal quadratischen Polynome)
a) Darstellende Matrix von phi bezüglich der Monombasis bestimmen
b) Eigenwerte und Eigenvektoren bestimmen

Darstellende Matrix bestimmen:

Bilder der Monombasis ermitteln:
phi(1) = (x * 1)' + 1'' = x' + 1'' = 1 + 0 = 1
phi(x) = (x * x)' + x'' = (x^2)' + x'' = 2x + 0 = 2x
phi(x^2) = (x^2 * x)' + (x^2)'' = (x^3)' + (x^2)'' = 3x^2 + 2

Meine Matrix wäre somit:



Eigenwerte und Eigenvektoren bestimmen:

Charakteristisches Polynom (über Laplaceschen Entwicklungssatz, 1. Spalte):



det(A) = (1-y) * ((2-y) * (3-y))

=> Eigenwerte = 1, 2 und 3

Gauß für Wert 1:



=> x3 = 0
=> x2 = 0
=> x1 = x1

Eigenvektor = (x1, 0, 0), Eigenraum = { x * (1, 0, 0) }


Gauß für Wert 2:



=> x3 = 0
=> x1 = 0
=> x2 = x2

Eigenvektor = (0, x2, 0), Eigenraum = { x * (0, 1, 0) }


Gauß für Wert 3:



=> x2 = 0
=> x1 = x3
=> x3 = x3

Eigenvektor = (x3, 0, x3), Eigenraum = { x * (1, 0, 1) }

Alles soweit korrekt, oder habe ich mich irgendwo verhaspelt?

Viele Grüße
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ergebnisse sind alle richtig. Bei der Interpretation der Matrix nach Gauß schreibt man besser nicht x1=x1 (das ist immer richtig, bringt also keinen Erkenntnisgewinn), sondern x1=x (genau das machst du ja bei Angabe der Lösungsmenge). x1 hat auch im Eigenvektor nichts verloren. Man schreibt auch nicht x, weil das die Unbestimmte ist, sondern , falls es sich um reelle Polynome handelt. Bei Vektorräumen muss man immer den Körper angeben.
 
 
matheknecht Auf diesen Beitrag antworten »

Perfekt, dann erneut vielen Dank fürs Kontrollieren und die hilfreichen Tipps smile
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