Grenzwert bestimmen

29.09.2019, 21:19

Momo76

Grenzwert bestimmen

Meine Frage:
Die Aufgabe lautet

Finden Sie für jedes E > 0 die Zahl $\begin{eqnarray*} N \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , sodass | $\begin{eqnarray*} x_{n} \end{eqnarray*}$ | < E, $\begin{eqnarray*} n \geq N \end{eqnarray*}$ im Fall:

$\begin{eqnarray*} x_{n} = (-1)^{n} \cdot 0,999^{n} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich kenne die Vorgehensweise und alles, aber mir fällt einfach keine passende Zahl ein.

Ich kenne den "Trick" mit dem Abschätzen. Aber mir fällt nur ein, dass 0,999^N < 1. Aber die 1 kann ich ja nicht nehmen, da E beliebig ist.

Ich komme einfach nicht weiter, könntet ihr mir bitte helfen?

29.09.2019, 21:58

Elvis

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$\begin{eqnarray*} lim(x^n) =0 \end{eqnarray*}$ für alle reellen x mit |x|<1. Ein Trick ist nicht nötig, es genügt eine passende Abschätzung.

29.09.2019, 22:36

Momo79

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Danke! Aber die einzige Abschätzung, auf die ich komme, ist

$\begin{eqnarray*} 0,999^{n} \end{eqnarray*}$ < $\begin{eqnarray*} \frac{10^{n}}{10} \end{eqnarray*}$

Nur hilft mir das leider nicht weiter, weil dann immer noch das n als Potenz vorkommt ...

Weißt du, wie es geht?

30.09.2019, 07:09

Elvis

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Das ist noch viel schlechter als die Abschätzung durch 1. Du musst durch kleine Zahlen abschätzen, nicht durch große. Vielleicht hilft die Exponentialfunktion weiter. Potenzen von Brüchen, $\begin{eqnarray*} 0,999=\frac {999}{1000} \end{eqnarray*}$ . Oder allgemeine Potenz $\begin{eqnarray*} a^b=exp(b\cdot log(a)) \end{eqnarray*}$ .

30.09.2019, 10:15

Elvis

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Die einfachste Möglichkeit ist, auf die Ungleichung $\begin{eqnarray*} 0,999^n<\epsilon \end{eqnarray*}$ den Logarithmus anzuwenden und zu denken. (Ich habe nur 3 Stunden darüber nachgedacht.)

30.09.2019, 12:00

HAL 9000

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RE: Grenzwert bestimmen

Zitat:

Original von Momo76
Finden Sie für jedes E > 0 die Zahl $\begin{eqnarray*} N \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , sodass | $\begin{eqnarray*} x_{n} \end{eqnarray*}$ | < E, $\begin{eqnarray*} n \geq N \end{eqnarray*}$

Da mit jedem gefundenen $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ auch jede größere natürliche Zahl diese Eigenschaft ebenfalls aufweist, sollte man die durch eine ersetzen. Oder aber die Aufgabe konkretisieren zu

Zitat:

Finden Sie für jedes E > 0 die kleinste Zahl $\begin{eqnarray*} N \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , sodass | $\begin{eqnarray*} x_{n} \end{eqnarray*}$ | < E, $\begin{eqnarray*} n \geq N \end{eqnarray*}$

In aller Regel meint man bei solchen Konvergenzbetrachtungen aber die eine-Variante. Augenzwinkern

30.09.2019, 17:36

Momo79

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RE: Grenzwert bestimmen
Dankeschön für die Tipps, doch auch mit dem Logarithmus komme ich zu keiner geeigneten Abschätzung

Habt ihr mit [latex] \frac{1}{E} [\latex] gearbeitet? Manchmal bringt das ja etwas ...

30.09.2019, 17:38

Momo79

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RE: Grenzwert bestimmen
Entschuldigt, meinte $\begin{eqnarray*} \frac{1}{E} \end{eqnarray*}$

30.09.2019, 18:19

Elvis

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$\begin{eqnarray*} 0,999^n<\epsilon\Leftrightarrow log(0,999^n)<\log(\epsilon)\Leftrightarrow n\cdot log(0,999)<log(\epsilon) \end{eqnarray*}$

und jetzt kommt die kurze Überlegung $\begin{eqnarray*} 0,999<1\Rightarrow log(0,999)<0 \end{eqnarray*}$ und deswegen dreht sich das Ungleichheitszeichen um

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow n>\frac {log(\epsilon)}{log(0,999)} \end{eqnarray*}$

und das war's auch schon.

30.09.2019, 23:59

Momo79

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Vielen, vielen Dank!

Angenommen, man solle zeigen, dass die Folge $\begin{eqnarray*} x_{n} = n^{(-1)^{n}} \end{eqnarray*}$ divergiert -
würdest ihr einen indirekten Beweis benutzen?

01.10.2019, 00:08

Helferlein

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Wozu? Die Angabe einer divergenten Teilfolge reicht doch und die ist schnell gefunden, wenn Du Dir klargemacht hast, wie sich der Exponent verhält..

01.10.2019, 16:46

Momo79

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Okay, stimmt, es gibt ja diesen Satz: Konvergiert eine Folge gegen a, dann konvergiert auch jede ihrer Teilfogen gegen a. Von dem machst du hier Gebrauch, richtig?

02.10.2019, 00:05

Helferlein

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Richtig, wenn Du eine Teilfolge findest, die nicht konvergiert, dann kann es keinen Grenzwert geben.

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