Orthonormalbasis(-Matrix) invertieren

30.09.2019, 13:47

matheknecht

Orthonormalbasis(-Matrix) invertieren

Hallo,

ich bin soeben auf folgenden Wikipedia Artikel gestoßen, welcher unter anderem ein Beispiel enthält, wie eine Matrix diagonalisiert werden kann:
URL = Wikipedia -> Diagonalisierbare Matrix -> Beispiel (ich darf keine URLs posten)

Sehe ich das korrekt:

Die Matrix einer Orthonormalbasis kann ich invertieren, indem ich sie transponiere?
Wenn meine Ausgangsmatrix jetzt nicht zufällig symmetrisch wäre, dürfte ich nicht einfach nur die Eigenvektoren normieren, um eine Orthogonalbasis zu erhalten, sondern müsste z.B. Gram-Schmidt verwenden bzw. durch "scharfes Hinsehen" eigene Vektoren finden?

Vielen Dank und viele Grüße

30.09.2019, 21:02

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RE: Orthonormalbasis(-Matrix) invertieren
zu 1.

Zitat:

Die Matrix einer Orthonormalbasis

gibt es nicht. Vergiss das, sonst bekommst du später Verständnisschwierigkeiten, wenn du abstrakte Vektorräume mit Skalarprodukt (Stichwort Hilbertraum) betrachtest. Eine Orthonormalbasis ist eine Basis aus Einheitsvektoren, die paarweise aufeinander senkrecht stehen. Sowas gibt es z.B. auch für Polynome auf dem Intervall [-1,1] und die kannst du nicht in eine Matrix pressen.

Du kannst die Vektoren einer ONB des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ in eine Matrix $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ pressen, die sich dann als orthogonal erweist, d.h. $\begin{eqnarray*} M^{-1}=M^T \end{eqnarray*}$ . Diese Gleichung ist sogar charakteristisch für Vektoren einer ONB, d.h. wenn du eine Matrix $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ hast, die der Bedingung $\begin{eqnarray*} M^{-1}=M^T \end{eqnarray*}$ genügt, dann sind die Zeilen (und auch die Spalten) der Matrix eine ONB.

zu 2. Auch bei einer symmetrischen Matrix reicht es nicht unbedingt, EV zu normieren. Zwar stehen EV zu verschiedenen EW einer symmetrischen Matrix immer senkrecht aufeinander. Wenn der Eigenraum zu einem EV aber mehrdimensional ist, müssen die EV nicht mehr senkrecht zueinander sein.
Einfaches Beispiel ist die Einheitsmatrix. Hier ist jeder Vektor EV zum EW 1

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