Polya, Burnside: nichtäquivalente Anordnungen Würfel

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Studentu Auf diesen Beitrag antworten »
Polya, Burnside: nichtäquivalente Anordnungen Würfel
Hallo Community,

ich habe nochmals eine Frage zu einer Anwendung von Polya und Burnside. Bei folgender Aufgabe komme ich mit beiden zum gleichen falschen Ergebnis (es muss falsch sein, weil es nicht ganzzahlig ist, sondern 19/3).
Gegeben 4 weiße und 4 schwarze Würfel mit den Maßen 1x1x1, baue daraus einen großen Würfel 2x2x2.
Wieviele solcher nichtäquivalenter Würfel kann man bauen?
Die Permutationsgruppe sind die Drehungen im Raum.

Beispielhalber hier meine Gedanken für Burnside, ich zähle die Fixpunkte:
1) Identität: 70 Fixpunkte
2) Drehung um +-90 Grad durch die Flächenmittelpunkte (3 Achsen): 2 Fixpunkte (die oberen und unteren 4 Würfel jeweils vollständig in einer der beiden Farbe wählen) Insgesamt also 3*2*2 = 12 Fixpunkte
3) Drehung um 180 Grad durch die Flächenmittelpunkte (3 Achsen): 6 Fixpunkte (jeder Würfel legt den auf der zu ihm in der Ebene diagonal angeordneten Würfel fest, wenn es Fixpunkt sein soll). Insgesamt also 2*6 = 12 Fixpunkte
4) Drehung um 180 Grad durch die Kantenmittelpunkte (6 Achsen): 6 Fixpunkte (jeder Würfel legt den auf der im Raum zu ihm diagonal liegenden Würfel fest, wenn es Fixpunkt sein soll) Insgesamt also 6*6 = 36 Fixpunkte
5) Drehung um +-120 Grad mit Achse durch Eckpunkte (4 Achsen): 2 Fixpunkte (die Eckpunkte werden frei gewählt (einer schwarz, der andere weiß) und die jeweils drei auf den 3er-Zyklen liegenden Würfel werden in derselben Farbe gewählt). Insgesamt also 2*4*2 = 16 Fixpunkte

Und damit erhalte ich alles in allem 152/24 = 19/3, was ja nicht stimmen kann.

Welche Fixpunkte habe ich denn übesehen oder falsch gezählt?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polya, Burnside: nichtäquivalente Anordnungen Würfel
Zitat:
3) Drehung um 180 Grad durch die Flächenmittelpunkte (3 Achsen): 6 Fixpunkte (jeder Würfel legt den auf der zu ihm in der Ebene diagonal angeordneten Würfel fest, wenn es Fixpunkt sein soll). Insgesamt also 3*6 = 18 Fixpunkte

5) Drehung um +-120 Grad mit Achse durch Eckpunkte (4 Achsen): Fixpunkte (die Eckpunkte werden frei gewählt (einer schwarz, der andere weiß) und die jeweils zwei Dreierzyklen werden einer weiß und der andere schwarz gewählt. Insgesamt also 2*4*4 = 32 Fixpunkte

Und damit erhalte ich alles in allem 168/24 = 7.
 
 
Studentu Auf diesen Beitrag antworten »

Ach herrje, mit deiner Argumentation sehe ich auf einmal auch, dass es so sein muss wie du schreibst.
Vielen Dank, HAL 9000! smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann die 7 Varianten auch noch ganz gut aufzählen:

1) alle vier S in einer Ebene
2) drei S in einer Ebene:
2.1) ein S zentral und die anderen drei S direkt benachbart
2.2 und 2.3) alle vier S in "Schlangenlinie"
2.4) das vierte S berührt die anderen drei S nur an Ecke bzw. Kante
3) zwei diagonal gegenüberliegende 2S-Kanten
4) "Tetraeder", d.h., alle vier S berühren sich wechselseitig nur an Ecke oder Kante

Interessant ist sicher auch die Deutung gemäß Polya wie hier:



Dem kann man dann auch ablesen, welche Anzahlen man bei anderen Farbanteilen (z.B. 3xS,5xW usw.) hat.
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