Vollständige Induktion Bruchfrage

30.09.2019, 18:01

Powerknoedel

Vollständige Induktion Bruchfrage

Meine Frage:
Ich habe folgende Aufgabe:
Beweisen Sie folgende Aussage mit vollständiger Induktion.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k+1}=1-\frac{1}{k+1} \end{eqnarray*}$

Induktionsschritt:

Zu beweisen ist, dass die Annahme:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k+1}=1-\frac{1}{k+2} \end{eqnarray*}$ impliziert.

Meine Ideen:
Meine Schritte:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k+1}=\sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k+1}+\frac{1}{(k+1)((k+1)+1)} \end{eqnarray*}$

Annahme eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} 1-\frac{1}{k+1} +\frac{1}{(k+1)(k+2)} \end{eqnarray*}$

Dann den linken Bruch mit (k+2) erweitert.

Jetzt habe ich:

$\begin{eqnarray*} 1-\frac{1*(k+2)}{(k+1)(k+2)}+\frac{1}{(k+1)(k+2)} \end{eqnarray*}$

Ich weiß, dass ich jetzt die Brüche addiere und dann (k+1) streichen kann um auf das gewünschte Ergebnis
$\begin{eqnarray*} 1-\frac{1}{(k+2)} \end{eqnarray*}$ zu kommen.

Mir ist jedoch nicht mehr ganz klar, warum die 1 im Zähler des 2. Bruchs ein Minuszeichen erhält, wenn ich sie auf den Zähler des 1. Bruchs bringe.
Ich weiß das ist ein absolutes Basic aber bei mir fällt gerade der Groschen nicht. Ich hoffe mein Problem ist so verständlich sonst erkläre ich weiter.

30.09.2019, 18:09

powerknoedel

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Ich habe die Formeln total verhauen. Ich probiere es nochmal.

Ich habe folgende Aufgabe:
Beweisen Sie folgende Aussage mit vollständiger Induktion.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}=1-\frac{1}{k+1} \end{eqnarray*}$

Induktionsschritt:

Zu beweisen ist, dass die Annahme:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k(k+1)}=1-\frac{1}{k+2} \end{eqnarray*}$ impliziert.

Meine Schritte:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k(k+1)}=\sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}+\frac{1}{(k+1)((k+1)+1)} \end{eqnarray*}$

Annahme eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} 1-\frac{1}{k+1} +\frac{1}{(k+1)(k+2)} \end{eqnarray*}$

Dann den linken Bruch mit (k+2) erweitert.

Jetzt habe ich:

$\begin{eqnarray*} 1-\frac{1*(k+2)}{(k+1)(k+2)}+\frac{1}{(k+1)(k+2)} \end{eqnarray*}$

Ich weiß, dass ich jetzt die Brüche addiere und dann (k+1) streichen kann um auf das gewünschte Ergebnis

$\begin{eqnarray*} 1-\frac{1}{k+2} \end{eqnarray*}$

zu kommen.

Mir ist jedoch nicht mehr ganz klar, warum die 1 im Zähler des 2. Bruchs ein Minuszeichen erhält, wenn ich sie auf den Zähler des 1. Bruchs bringe.
Ich weiß das ist ein absolutes Basic aber bei mir fällt gerade der Groschen nicht. Ich hoffe mein Problem ist so verständlich sonst erkläre ich weiter.

30.09.2019, 19:01

rumar

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Zitat:

Beweisen Sie folgende Aussage mit vollständiger Induktion.

$\begin{eqnarray*} \qquad \quad \sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k\, (k+1)}\ =\ 1 -\frac{1}{k+1}<br /> \end{eqnarray*}$

So stimmt das wohl auch noch nicht ganz ! Ich tippe mal auf:

$\begin{eqnarray*} \qquad \qquad \sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k\, (k+1)}\ =\ 1 -\frac{1}{n+1}<br /> \end{eqnarray*}$

(Die Variable k ist in der obigen Gleichung nur eine Hilfsvariable im Term auf der linken Seite, also sowas wie eine untergeordnete Hilfskraft ohne Prokura ...)

30.09.2019, 19:16

Mathema

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Herzlich willkommen hier.

Zitat:

Original von powerknoedel
Mir ist jedoch nicht mehr ganz klar, warum die 1 im Zähler des 2. Bruchs ein Minuszeichen erhält[...]|

Siehe dort

Beweis durch vollständige Induktion

die Beiträge von mir und Leopold.

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