Einheitsvektor (kartesische koordinaten) ableiten

01.10.2019, 08:53

komplett_verwirrte

Einheitsvektor (kartesische koordinaten) ableiten

Meine Frage:
Hallo smile

Meine Aufgabe ist es zu begründen, warum man einen Vektor komponentenweise ableiten darf.

Meine Ideen:
Dazu hatte ich folgende Idee:
Man kann einen Vektor ja wie folgt aufschreiben: ax + by + cz
wobei a, b, c auch Funktionen sein dürfen.
Jetzt wollte ich das ganze mithilfe der Produktregel ableiten, und dann schauen, was dabei herauskommt.
Dabei hat sich mir folgende Frage gestellt:
Was passiert wenn man einen Einheitsvektor ableitet? Da der Betrag der Einheitsvektoren konstant ist, ist das Skalarprodukt der Ableitung und des Einheitsvektors = 0. Wenn ich ex
$\begin{eqnarray*} e_x = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
komponentenweise ableiten würde, gibt es ja den Nullvektor
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
aber wie kann ich ohne die komponentenweise ableitung das zeigen?

01.10.2019, 09:33

klarsoweit

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RE: Einheitsvektor (kartesische koordinaten) ableiten

Zitat:

Original von komplett_verwirrte
Da der Betrag der Einheitsvektoren konstant ist, ist das Skalarprodukt der Ableitung und des Einheitsvektors = 0.

Ich weiß jetzt nicht, was du damit sagen willst. Insgesamt muß man aber auch sagen, daß die Aufgabe in meinen Augen etwas unpräzise gestellt ist. Denn wenn man es genau nimmt, kann man Vektoren nicht ableiten, sondern nur Funktionen. Und bevor man ableitet, sollte auch klar definiert sein, was eine Ableitung ist.

Falls man für Funktionen f, die $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ abbilden, die bekannte Definition $\begin{eqnarray*} f'(x_0) := \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \end{eqnarray*}$ verwendet, so kann man diese durchaus auch auf Funktionen, die $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ abbilden, übertragen. Am Ende führt das auf die komponentenweise Ableitung.

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