Dreiecksaufgabe

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01.10.2019, 11:38

rumar

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Dreiecksaufgabe

$\begin{eqnarray*} \qquad \qquad \end{eqnarray*}$

01.10.2019, 11:45

HAL 9000

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Spezialfall des Satz von Ceva. Im allgemeinen Fall hätte man $\begin{eqnarray*} uvw = xyz \end{eqnarray*}$ , wenn man statt der drei gleichen Strecken $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ drei i.a. verschiedene $\begin{eqnarray*} x,y,z \end{eqnarray*}$ hätte.

01.10.2019, 12:05

rumar

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OK, danke für den Hinweis. Der Satz von Ceva war mir im Moment auch gar nicht bewusst (obwohl der mir irgendwann in der Vergangenheit auch schon begegnet ist) - oder anders gesagt: ich habe anscheinend den Satz gerade wiederentdeckt (zunächst ging ich nämlich auch von unterschiedlich langen Teilabschnitten aus).
Meine weitere Frage war dann, ob man dies verwenden könnte, um aus den drei gegebenen Kantenlängen eines Quaders die Kantenlänge des volumengleichen Würfels zu konstruieren.
Mittels "klassischer" ZL-Konstruktion geht dies natürlich nicht (wegen der resultierenden kubischen Gleichung). Mittels Geogebra kann man allerdings leicht eine "Einschiebe-Konstruktion" entwerfen, bei welcher man nur die Streckenlänge x durch Verschieben eines Teilpunktes dergestalt anpassen muss, dass sich die 3 Strecken AE, BF, CG tatsächlich in einem gemeinsamen Punkt treffen.

Hier ein Bild zu meiner diesbezüglich erstellten Geogebra-Animation:

$\begin{eqnarray*} \qquad \qquad \quad \end{eqnarray*}$ [attach]49751[/attach]

02.10.2019, 11:47

rumar

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Anregung
Hallo Hal 9000

Die Aufgabe war eigentlich als Anregung für die Leser gedacht, selber einen Beweis für die interessante Beziehung zu suchen - nicht als Wunsch, dass mir jemand zu Hilfe komme bei einer Aufgabe, mit der ich selber nicht zurande käme ...

Mit dem Hinweis auf den Satz von Ceva (den wohl nur sehr wenige wirklich kennen oder jemals selber im Detail verstanden haben) ist nun vielleicht bei manchem die Motivation für einen Nachweis aus eigener Kraft ziemlich klein. Geometrieliebhaber möchte ich trotzdem dazu ermuntern.

02.10.2019, 14:42

HAL 9000

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Zitat:

Original von rumar
Die Aufgabe war eigentlich als Anregung für die Leser gedacht, selber einen Beweis für die interessante Beziehung zu suchen - nicht als Wunsch, dass mir jemand zu Hilfe komme bei einer Aufgabe, mit der ich selber nicht zurande käme ...

Deine Schuld, das nicht ordentlich zu kennzeichnen. Dann mach das das nächste Mal doch bitte deutlicher bzw. stell solche Aufgaben gleich in

Mathe-Marathon Schule

oder

Übergangs-Marathon Mathematik

Wink

14.10.2019, 23:17

Gualtiero

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Diese Aufgabe finde ich sehr interessant und ich habe schon einige Zeit damit verbracht, aber bisher ohne Erfolg.

HALs Hinweis auf die allgemeine Form der Formel

Zitat:

Original von HAL 9000
. . . .
Im allgemeinen Fall hätte man $\begin{eqnarray*} uvw = xyz \end{eqnarray*}$ , wenn man statt der drei gleichen Strecken $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ drei i.a. verschiedene $\begin{eqnarray*} x,y,z \end{eqnarray*}$ hätte.

hat mich dazu veranlasst, einen Versuch zu unternehmen. Zuerst forme ich

$\begin{eqnarray*} uvw=xyz \ \ \text{ um zu } \ \ \frac{uvw}{xyz}=1 \ \ \text{ und weiter zu } \ \ \frac{u}{x} \cdot \frac{v}{y}\cdot \frac{w}{z}=1 \end{eqnarray*}$ .

Jeder der drei Brüche in der letzten Gleichung stellt ein Verhältnis zwischen den zwei Teilabschnitten einer Dreiecksseite dar, und zwar schön geordnet in der Reihenfolge: rechter Teilabschnitt / linker Teilabschnitt. Zu diesem Ergebnis wollte ich mithilfe von Vektorrechnung gelangen.

[attach]49824[/attach]

Hier meine Voraussetzungen:
Die beiden Vektoren $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{b} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{c} \end{eqnarray*}$ spannen ein Dreieck auf, welches von drei in $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ sich schneidendenTransversalen, jeweils von einem Eckpunkt zur jeweils gegenüberliegenden Seite gehend, in insgesamt sechs Teilflächen (Dreiecke) geteilt wird.
Die Vektoren außen herum sind:

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AE}=\alpha \cdot \overrightarrow{c}, \ \ \overrightarrow{EB}=(1- \alpha )\cdot \overrightarrow{c} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{BF}=\beta \cdot (\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}), \ \ \overrightarrow{FC}=(1-\beta) \cdot (\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{CD}=-\gamma \cdot \overrightarrow{b}, \ \ \overrightarrow{DA}=(\gamma - 1) \cdot \overrightarrow{b} \end{eqnarray*}$

Für jedes dieser sechs Teil-Dreiecke habe ich einen geschlossenen Vektorzug erstellt und gehofft, irgenwie auf

$\begin{eqnarray*} \frac{1-\alpha}{\alpha} \cdot \frac{1-\beta}{\beta} \cdot \frac{1-\gamma}{\gamma}=1 \end{eqnarray*}$

zu kommen.

Bekommen habe ich aber nur drei Gleichungspaare.

$\begin{eqnarray*} (1) \ \ \varepsilon=\delta \beta \wedge \alpha -\alpha \varepsilon + \delta \beta - \delta =0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2) \ \ \varepsilon \alpha -\alpha -\lambda +1=0 \wedge \lambda -\lambda \gamma - \varepsilon =0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (3) \ \ \delta -\delta \beta + \lambda = 1 \wedge \delta \beta - \lambda + \lambda \gamma = 0 \end{eqnarray*}$

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