Integralsatz von Green für Vektorfelder

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sinus.von.theta Auf diesen Beitrag antworten »
Integralsatz von Green für Vektorfelder
Meine Frage:
Hallo,
Ich brauche einmal Hilfe bei einer Aufgabe zu dem Satz von Green.

Gegeben ist ein Vektorfeld .
Der Bereich ist durch gegeben.
Mein Lösungsansatz ist unten beschrieben.
Über Hilfe würde ich mich sehr freuen!


Meine Ideen:
Ich möchte nun von beiden Seiten der Gleichung an die Aufgabe rangehen. Also erst die eine Seite ausrechnen und dann die andere. Der Rand lautet hierbei . Leider weiß ich nicht ganz wie ich nun an die Integralgrenzen komme. Genau da brauche ich Hilfe


edit Mathema: Latex repariert. Verwende am Ende /Latex
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Beim Kurvenintegral ist gemäß der von dir gewählten Parametrisierung des Einheitskreises (oder ein anderes Intervall der Länge ) das Integrationsintervall. Beim Bereichsintegral ist der Bereich aller mit , also die abgeschlossene Einheitskreisscheibe, der Integrationsbereich.
sinusvonthetaa Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Antwort!

Die Grenzen der einen Seite leuchten mir ein, aber wie genau sieht das Doppelintegral dann aus? Also nur das Bereichsintegral leuchtet mir nicht wirklich ein mit den Grenzen.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Beim Bereichsintegral ist der Integrand konstant gleich . Daher gilt mit als der Einheitskreisscheibe:



Das verbleibende Integral berechnet den Inhalt der Einheitskreisscheibe. Der sollte bekannt sein. Falls er neu berechnet werden soll, wäre die Einführung von Polarkoordinaten hilfreich. Ohne Polarkoordinaten ist, wenn man mit der Integration über beginnt, der Integrationsbereich für (denn nur für diese gibt es Punkte des Einheitskreises):



Die Integrationsgrenzen für ergeben sich in Abhängigkeit von aus der Ungleichung
sinusvonthetaa Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Beim Bereichsintegral ist der Integrand konstant gleich . Daher gilt mit als der Einheitskreisscheibe:



Das verbleibende Integral berechnet den Inhalt der Einheitskreisscheibe. Der sollte bekannt sein. Falls er neu berechnet werden soll, wäre die Einführung von Polarkoordinaten hilfreich. Ohne Polarkoordinaten ist, wenn man mit der Integration über beginnt, der Integrationsbereich für (denn nur für diese gibt es Punkte des Einheitskreises):



Die Integrationsgrenzen für ergeben sich in Abhängigkeit von aus der Ungleichung



Wie genau berechne ich dann das Kurvenintegral?
Also ich bin mir jetzt nicht sicher wie genau ich über das Vektorfeld integrieren soll. Muss ich das Integral dann umschreiben? Weil der Integrand ist ja keine skalarwertige Funktion, sondern ist vektorwertig.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Fasse beim Kurvenintegral das Produkt als formales Skalarprodukt auf. Mit



hast du daher



zu integrieren.
 
 
sinusvonthetaa Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Fasse beim Kurvenintegral das Produkt als formales Skalarprodukt auf. Mit



hast du daher



zu integrieren.


Dann habe ich ja

.


Aber es ist doch kein Doppelintegral? Oder kann ich einmal von 0 bis und dann von bis integrieren? Ich habe ja einmal und einmal , was sich nur durch ein Doppelintegral auflöst, oder?


Bis hierhin schonmal vielen Dank!
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Wie immer bei Kurvenintegralen mußt du durch die Parametrisierung substituieren:



sinusvontheta Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Wie immer bei Kurvenintegralen mußt du durch die Parametrisierung substituieren:






Jetzt habe ich wieder 2 mal . Bekomme ich beide durch ein Integral weg?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Das Differential kannst du wie eine formale Variable behandeln, also ausklammern. Und natürlich mußt du noch über das Ganze das Integral in den angesagten Grenzen ziehen. Ich habe meine Umformung auf die Differentialform unter dem Integral beschränkt.
sinusvontheta Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Das Differential kannst du wie eine formale Variable behandeln, also ausklammern. Und natürlich mußt du noch über das Ganze das Integral in den angesagten Grenzen ziehen. Ich habe meine Umformung auf die Differentialform unter dem Integral beschränkt.


Dann müsste das bestimmte Integral ergeben oder?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »



Denn das letzte Integral berechnet ja gerade den Flächeninhalt des Einheitskreises.
Und das muß auch beim Kurvenintegral herauskommen.
sinusvontheta Auf diesen Beitrag antworten »

Okay dann habe ich das verstanden, danke dir!
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