Integralsatz von Green für Vektorfelder |
03.10.2019, 14:55 | sinus.von.theta | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Integralsatz von Green für Vektorfelder Hallo, Ich brauche einmal Hilfe bei einer Aufgabe zu dem Satz von Green. Gegeben ist ein Vektorfeld . Der Bereich ist durch gegeben. Mein Lösungsansatz ist unten beschrieben. Über Hilfe würde ich mich sehr freuen! Meine Ideen: Ich möchte nun von beiden Seiten der Gleichung an die Aufgabe rangehen. Also erst die eine Seite ausrechnen und dann die andere. Der Rand lautet hierbei . Leider weiß ich nicht ganz wie ich nun an die Integralgrenzen komme. Genau da brauche ich Hilfe edit Mathema: Latex repariert. Verwende am Ende /Latex |
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03.10.2019, 15:37 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Beim Kurvenintegral ist gemäß der von dir gewählten Parametrisierung des Einheitskreises (oder ein anderes Intervall der Länge ) das Integrationsintervall. Beim Bereichsintegral ist der Bereich aller mit , also die abgeschlossene Einheitskreisscheibe, der Integrationsbereich. |
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03.10.2019, 15:50 | sinusvonthetaa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke für deine Antwort! Die Grenzen der einen Seite leuchten mir ein, aber wie genau sieht das Doppelintegral dann aus? Also nur das Bereichsintegral leuchtet mir nicht wirklich ein mit den Grenzen. |
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03.10.2019, 16:03 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Beim Bereichsintegral ist der Integrand konstant gleich . Daher gilt mit als der Einheitskreisscheibe: Das verbleibende Integral berechnet den Inhalt der Einheitskreisscheibe. Der sollte bekannt sein. Falls er neu berechnet werden soll, wäre die Einführung von Polarkoordinaten hilfreich. Ohne Polarkoordinaten ist, wenn man mit der Integration über beginnt, der Integrationsbereich für (denn nur für diese gibt es Punkte des Einheitskreises): Die Integrationsgrenzen für ergeben sich in Abhängigkeit von aus der Ungleichung |
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04.10.2019, 16:18 | sinusvonthetaa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie genau berechne ich dann das Kurvenintegral? Also ich bin mir jetzt nicht sicher wie genau ich über das Vektorfeld integrieren soll. Muss ich das Integral dann umschreiben? Weil der Integrand ist ja keine skalarwertige Funktion, sondern ist vektorwertig. |
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04.10.2019, 18:01 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Fasse beim Kurvenintegral das Produkt als formales Skalarprodukt auf. Mit hast du daher zu integrieren. |
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04.10.2019, 21:17 | sinusvonthetaa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dann habe ich ja . Aber es ist doch kein Doppelintegral? Oder kann ich einmal von 0 bis und dann von bis integrieren? Ich habe ja einmal und einmal , was sich nur durch ein Doppelintegral auflöst, oder? Bis hierhin schonmal vielen Dank! |
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04.10.2019, 21:27 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie immer bei Kurvenintegralen mußt du durch die Parametrisierung substituieren: |
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04.10.2019, 21:40 | sinusvontheta | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Jetzt habe ich wieder 2 mal . Bekomme ich beide durch ein Integral weg? |
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04.10.2019, 21:47 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das Differential kannst du wie eine formale Variable behandeln, also ausklammern. Und natürlich mußt du noch über das Ganze das Integral in den angesagten Grenzen ziehen. Ich habe meine Umformung auf die Differentialform unter dem Integral beschränkt. |
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04.10.2019, 22:30 | sinusvontheta | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dann müsste das bestimmte Integral ergeben oder? |
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05.10.2019, 08:56 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Denn das letzte Integral berechnet ja gerade den Flächeninhalt des Einheitskreises. Und das muß auch beim Kurvenintegral herauskommen. |
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05.10.2019, 20:07 | sinusvontheta | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Okay dann habe ich das verstanden, danke dir! |
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