Banacher Fixpunktsatz, selbstabbildung, Kontraktionskante, exakte Fixpunkt

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Dgaz Auf diesen Beitrag antworten »
Banacher Fixpunktsatz, selbstabbildung, Kontraktionskante, exakte Fixpunkt
Meine Frage:
Hey,

ich bin gerade dabei mich für meine Matheklausur vorzubereiten.
Jedoch verzweifele ich ein bisschen an dem Banachschen Fixpunktsatz.

Zu der Aufgabe:
Gegeben sei die Funktion:

a) Zeigen Sie, dass f eine Selbstabbildung des Intervalls [0,1] ist.
b) Beweise das f kontrahierend ist und bestimme eine Kontraktionskante
c) Berechne den exakten Fixpunkt im Intervall
d) Berechne ausgehend vom Startwert x0:= 0 die ersten drei Fixpunkt Itterationen x1,x2 und x3



Meine Ideen:
a) Die für die Selbstabbildung sollte es doch ausreichen, wenn man zeigt dass :
f(0)= -(0^2/4)+1 und f(1)= -(1^2/4)+1 0<=x<=1
liegt oder ?
Natürlich noch ein bisschen ausführlicher geschrieben...

b) ab hier habe ich schwierigkeiten auf einen Lösungsweg zu kommen.
Ich benötige doch ein L, was zwischen 0 und 1 liegt und das folgende zutreffen muss oder ?
L
Mir macht aber die Auswahl von L nach dieser Regel hier kopfschmerzen

Wie wende ich das an um mein L herrauszufinden ?

c)und d)Soweit kam ich leider noch nicht...

Schonmal vielen lieben Dank für die Tipps und Mühen smile
nitro Auf diesen Beitrag antworten »

Zu a)

Die Funktionswerte in x=0 und x=1 zu bestimmen ist korrekt.
Du musst dir dann aber noch unbedingt ein Argument überlegen, das sicher stellt, dass zwischen 0 und 1 auch wirklich kein anderer Wert außerhalb von [0,1] abgebildet wird (Stichwort Monotonie).

Zu b)

Du kannst hier auch auf direktem Wege |f(x)-f(y)| nach oben abschätzen, bis etwas der Form L|x-y| entsteht.

Wenn du den Weg der maximalen Steigung gehen willst, dann denke auch hier an das Monotonieverhalten und die Krümmungsart der Parabel bzw. damit verbunden wo der Graph zu f seine betragsmäßig größte Steigung zwangsweise annimmt.

Zu c)

Der Ansatz ist ganz normal gemäß Fixpunktdefinition f(x)=x und diese Gleichung musst du nur lösen.
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Banacher Fixpunktsatz, selbstabbildung, Kontraktionskante, exakte Fixpunkt
a) Im Wesentlichen ja, allerdings muss dein "ausführlich geschrieben" noch erklären, wieso das Berechnen der beiden Randwerte hier ausreicht.

b)
Wie wende ich das an um mein L herrauszufinden ?

Ich hoffe Du hast nicht ernsthaft ein Problem damit, das Maximum einer linearen Funktion auf einem abgeschlossenem Intervall zu bestimmen geschockt

c) Wenn Du weisst, wie ein Fixpunkt definiert ist, erhältst Du eine quadratische Gleichung, die Du lösen solltest.

d) Das Verfahren habt ihr doch sicher in der Vorlesung aufgeschrieben: .
Du hast die Funktion und den Startwert, also wo liegt das Problem?

EDIT: Nitro war schneller. Bin dann raus.
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