Kubische Gleichung ohne konstante lösen

04.10.2019, 09:38

Mathman91

Kubische Gleichung ohne konstante lösen

Hallo,

ich habe da ein kleines Verständnisproblem.

Es geht darum, eine kubische Gleichung zu lösen.

$\begin{eqnarray*} 3x^3 -2x^2 + 14x = 0 \end{eqnarray*}$

da ich keine Konstante wie z.B. "+d" habe, kann ich ein x herausheben:

$\begin{eqnarray*} x(3x^2 -2x + 14) = 0 \end{eqnarray*}$

Eine quadratische Gleichung hat immer 2 Lösungen, eine kubische immer 3.

x1 und x2 kann ich jetzt mit der PQ-Formel berechnen, x3 ist einfach 0.

Nun verstehe ich die Erklärung nicht.

Es heißt, dass ich durch die Schreibweise: $\begin{eqnarray*} x(3x^2 -2x + 14) = 0 \end{eqnarray*}$
einen linken Teil: $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und einen rechten Teil: $\begin{eqnarray*} (3x^2 -2x + 14) \end{eqnarray*}$ erhalte.

Nun wird erklärt, das wenn ein Teil gleich Null ist alles zu Null wird.
Das leuchtet mir noch ein, weil 0 multipliziert mit irgendwas ergbit 0.
Jetzt könnte x=0 sein oder die quadratische Gleichung in den Klammern =0 und ab hier steige ich komplett aus.
Warum ist die quadratische Gleichung plötzlich 0?? Bei x leuchtet mir das noch ein, da wir es bei der Lösung mit 0 festgelegt haben.
Die quadratische Gleichung hat doch die beiden Lösungen x1 & x2 und die sind ja nicht 0??

Sorry für diese blöde Frage, aber ich verstehe diese Erklärung einfach nicht.

SG

04.10.2019, 10:05

Leopold

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Zitat:

Original von Mathman91
Eine quadratische Gleichung hat immer 2 Lösungen, eine kubische immer 3.

Ich vermute, daß wir hier über der Grundmenge $\begin{align*} \mathbb{R} \end{align*}$ der reellen Zahlen operieren. Dann ist das nicht richtig. Vielmehr stimmt das Folgende: Eine quadratische Gleichung hat höchstens zwei, eine kubische höchstens drei Lösungen.

Zitat:

Original von Mathman91
Nun verstehe ich die Erklärung nicht.

Es heißt, dass ich durch die Schreibweise: $\begin{eqnarray*} x(3x^2 -2x + 14) = 0 \end{eqnarray*}$
einen linken Teil: $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und einen rechten Teil: $\begin{eqnarray*} (3x^2 -2x + 14) \end{eqnarray*}$ erhalte.

Nun wird erklärt, das wenn ein Teil gleich Null ist alles zu Null wird.
Das leuchtet mir noch ein, weil 0 multipliziert mit irgendwas ergbit 0.

Mach nicht so viele Worte und komm auf den Punkt. Ein Produkt aus zwei, drei, vier, ... Faktoren kann nur dann 0 werden, wenn mindestens ein Faktor 0 ist:

$\begin{align*} A \cdot B \cdot C = 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ A=0 \ \ \text{oder} \ \ B=0 \ \ \text{oder} \ \ C=0 \end{align*}$

Zitat:

Original von Mathman91
Jetzt könnte x=0 sein oder die quadratische Gleichung in den Klammern =0 und ab hier steige ich komplett aus.

Sind wird genauer: Es könnte $\begin{align*} x=0 \end{align*}$ sein oder der quadratische Term gleich 0 sein:

$\begin{align*} 3x^2 - 2x + 14 = 0 \end{align*}$

Zitat:

Original von Mathman91
ab hier steige ich komplett aus.
Warum ist die quadratische Gleichung plötzlich 0?? Bei x leuchtet mir das noch ein, da wir es bei der Lösung mit 0 festgelegt haben.
Die quadratische Gleichung hat doch die beiden Lösungen x1 & x2 und die sind ja nicht 0??

Niemand außer dir hat behauptet, daß $\begin{align*} x_1 \end{align*}$ oder $\begin{align*} x_2 \end{align*}$ Null wird. Sondern es geht um den quadratischen Term $\begin{align*} 3x^2 -2x + 14 \end{align*}$ . Der wird möglicherweise an gewissen Stellen $\begin{align*} x_1,x_2 \end{align*}$ Null.

04.10.2019, 10:06

G041019

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RE: Kubische Gleichung ohne konstante lösen
Es gilt der Satz vom Nullprodukt.
Die quadratische Gleichung hat keine Nullstellen im Reellen.

Zitat:

Eine quadratische Gleichung hat immer 2 Lösungen

Nein bzw. nicht im Reellen.

04.10.2019, 12:07

Mathman91

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Danke für die Antworten, aber das ist mir noch immer nicht klar.

Ich formuliere es jetzt mal anders, was passiert mit dem x vor der Klammer:
$\begin{eqnarray*} x(3x^{2}-x+14)=0 \end{eqnarray*}$

Warum wird das auf einmal Null, das leuchtet mir nicht ein.

SG

04.10.2019, 12:38

G041019

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Die Gleichung wird Null für x=0.
Nur dieser Faktor kann 0 werden im Reellen.

04.10.2019, 12:52

klarsoweit

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Zitat:

Original von Mathman91
Ich formuliere es jetzt mal anders, was passiert mit dem x vor der Klammer:
$\begin{eqnarray*} x(3x^{2}-x+14)=0 \end{eqnarray*}$

Warum wird das auf einmal Null, das leuchtet mir nicht ein.

Hilfreich in der Mathematik sind grundsätzlich exakte Formulierungen:
Das x wird nicht auf einmal Null, sondern x=0 ist eine mögliche Lösung der Gleichung. Die Betonung liegt auf dem fett markierten Text.

04.10.2019, 12:52

Leopold

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Das $\begin{align*} x \end{align*}$ "wird nicht Null". Man sucht vielmehr eine Einsetzung für $\begin{align*} x \end{align*}$ , so daß eine wahre Aussage entsteht.

Einsetzung $\begin{align*} x = 2019 \end{align*}$ :

$\begin{align*} 2019 \cdot \left( 3 \cdot 2019^2 - 2 \cdot 2019 + 14 \right) = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} 2019 \cdot 12225059 = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} 24682394121 = 0 \ \ \color{red} \text{falsch!} \end{align*}$

(Ich habe die alte Variante deiner Gleichung genommen.)

Einsetzung $\begin{align*} x = 0 \end{align*}$ :

$\begin{align*} 0 \cdot \left( 3 \cdot 0^2 - 2 \cdot 0 + 14 \right) = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} 0 \cdot 14 = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} 0 = 0 \ \ \color{green} \text{wahr!} \end{align*}$

Also ist 0 eine Lösung der Gleichung.

07.10.2019, 16:41

Mathman91

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Danke, genau diese Antwort hat mir weitergeholfen.

SG

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