Bijektion unendliche Mengen

04.10.2019, 14:11

Baumstamm

Bijektion unendliche Mengen

Meine Frage:
Sei X eine unendliche Menge und sei x ein Element von X. Zeigen Sie, dass es eine Bijektion f: X->X\{x} gibt.

Meine Ideen:
Mir ist die Idee gekommen mit Hilberts Hotel, diese Abbildung funktioniert jedoch nur auf den natürlichen Zahlen und als x würde ich dann 0 (bzw. 1 je nach Definition von N) wählen. Ich weiss aber nicht, wie ich das für alle unendlichen Mengen zeigen kann.

04.10.2019, 14:40

Elvis

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Jede unendliche Menge enthält eine abzählbar unendliche Teilmenge N. oBdA sei x das erste Element von N. Dann kann man auf N Hilberts Hotel spielen und X\N fest lassen.

04.10.2019, 14:54

Baumstamm

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Aber sobald ich das ganze auch nur schon mit den Ganzen Zahlen Z mache, funktioniert die Abbildungsvorschrift f: n -> n+1 nicht mehr, denn -1 würde ja dann auf 0 abgebildet, welches nicht mehr in der Wertemenge ist. Und dann wäre f ja gar keine Funktion mehr oder etwa nicht?

04.10.2019, 15:30

Leopold

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Die Lösung der Aufgabe hängt wohl davon ab, wie man "unendlich" definiert. Ich greife Elvis' Vorschlag auf und gehe davon aus, daß eine injektive Abbildung

$\begin{align*} \varphi: \ \mathbb{N} = \{ 0, 1, 2, \ldots \} \to X \, , \ \ n \mapsto x_n \end{align*}$

existiert. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei $\begin{align*} x_0 = x \end{align*}$ . (Andernfalls tausche man $\begin{align*} x_0 \end{align*}$ und $\begin{align*} x \end{align*}$ aus.)

Jetzt legt man $\begin{align*} f \end{align*}$ für $\begin{align*} \xi \in X \end{align*}$ durch $\begin{align*} f(\xi) = x_{n+1} \end{align*}$ fest, falls ein $\begin{align*} n \end{align*}$ existiert mit $\begin{align*} \xi = x_n \end{align*}$ , und durch $\begin{align*} f(\xi) = \xi \end{align*}$ im andern Fall.

04.10.2019, 15:41

Baumstamm

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Gut aber das Intervall ]2,3[ enthält ebenfalls unendlich viele Elemente. Wie funktioniert es denn hier?

04.10.2019, 15:50

Leopold

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Genau so wie beschrieben. Nehmen wir also $\begin{align*} X = (2,3) \end{align*}$ und zum Beispiel $\begin{align*} x = \operatorname{e} = 2{,}7182818 \ldots \end{align*}$ . Als Abbildung $\begin{align*} \varphi: \mathbb{N} \to X \end{align*}$ definieren wir

$\begin{align*} \varphi(0) = x_0 = \operatorname{e} \end{align*}$

$\begin{align*} \varphi(n) = x_n = 2 + 10^{-n} \, , \ \ n \geq 1 \end{align*}$

Und nun $\begin{align*} f \end{align*}$ wie in meinem ersten Beitrag.

04.10.2019, 17:55

Elvis

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Zitat:

Original von Baumstamm
Aber sobald ich das ganze auch nur schon mit den Ganzen Zahlen Z mache, funktioniert die Abbildungsvorschrift f: n -> n+1 nicht mehr, denn -1 würde ja dann auf 0 abgebildet, welches nicht mehr in der Wertemenge ist. Und dann wäre f ja gar keine Funktion mehr oder etwa nicht?

Das kann man doch für ganze Zahlen konkret so machen:
$\begin{eqnarray*} f(x)=x+1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\ge 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x)=x \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\lt 0 \end{eqnarray*}$
Wie ich gesagt habe: Hilberts Hotel auf einem abzählbaren Teil N von Z, Identität auf dem Komplement Z\N

Leopolds Beiträge zeigen sehr schön, dass man unendlich viele solche Bijektionen konstruieren kann.

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