Vollständigkeitsaxiom

04.10.2019, 20:16	anna123bella	Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständigkeitsaxiom Meine Frage: Könntet ihr mir bitte helfen? Die Aufgabe lautet: Seien $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ Teilmengen von $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x \leq y \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x \in X \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y \in Y \end{eqnarray}$ . Beweisen Sie, dass die Zahl $\begin{eqnarray} c \in \mathbb R \end{eqnarray}$ , die X und Y trennt, eindeutig bestimmt ist. Nehmen Sie dafür zusätzlich an, dass für jedes E>O ein x und y existieren mit y - x < E. Meine Ideen: Ich habe irgendwo gelesen, dass man von E = \| $\begin{eqnarray} c - c' \end{eqnarray}$ \| ausgehen und verwenden soll, dass $\begin{eqnarray} y - x = y - c' + c' - c + c - x \end{eqnarray}$ . Nur leider weiß nicht, wie das zu benutzen ist. Soll man die Dreiecksungleichung verwenden? Ich kam dann irgendwann auf \|y - c'\| + \|x - c\| < 0 Das wäre ja ein Widerspruch, da die Summe zweier Beträge nicht negativ sein kann. Damit wäre die Aufgabe gelöst. Nun bin ich mir aber nicht sicher, ob das so richtig ist? Auf was für Lösungen kommt ihr denn so? Ich hatte noch eine andere Idee, aber für die muss man voraussetzen, dass $\begin{eqnarray} c \in X \end{eqnarray}$ - darf man das o.B.d.A. tun? Danke im Voraus!
04.10.2019, 21:07	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständigkeitsaxiom Für alle $\begin{eqnarray} x\in X,y\in Y \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} x\leq c,c' \leq y \end{eqnarray}$ . Daraus bekommt leicht eine Abschätzung für $\begin{eqnarray} c-c' \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} c'-c \end{eqnarray}$
04.10.2019, 21:17	anna123bella	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständigkeitsaxiom Danke für die Antwort! Meinst du so etwas wie $\begin{eqnarray} c' - c \leq y - x \end{eqnarray}$ ?
04.10.2019, 21:25	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständigkeitsaxiom ja. jetzt nochmal so ähnlich
04.10.2019, 21:39	anna123bella	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständigkeitsaxiom Danke, und jetzt $\begin{eqnarray} c - c' \geq x - y \end{eqnarray}$ ? Entschuldige, bin noch ein kompletter Neuling
04.10.2019, 21:55	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständigkeitsaxiom Du hast $\begin{eqnarray} c'-c\leq y-x \end{eqnarray}$ . Genauso kannst du $\begin{eqnarray} c-c'\leq y-x \end{eqnarray}$ begründen (das ist anhand einer Skizze auch sofort einsichtig, weil der Abstand von x und y natürlich größer als der von c und $\begin{eqnarray} c' \end{eqnarray}$ , die ja beide zwischen x und y liegen. Insgesamt gilt also $\begin{eqnarray} \|c'-c\|\leq y-x \end{eqnarray}$ . Das gilt jetzt für alle $\begin{eqnarray} x\in X, y\in Y \end{eqnarray}$ . Die rechte Seite kann man beliebig klein machen (warum?). Was folgt daraus für die linke Seite?
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04.10.2019, 22:08	anna123bella	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständigkeitsaxiom Ahh, jetzt geht mir ein Licht auf, danke! Es folgt, dass \| $\begin{eqnarray} c - c' \end{eqnarray}$ \| < $\begin{eqnarray} E \end{eqnarray}$ , woraus folgt, dass \| $\begin{eqnarray} c - c' \end{eqnarray}$ \| nicht positiv ist. Ein Betrag kann jedoch auch nicht negativ sein, so dass \| $\begin{eqnarray} c - c' \end{eqnarray}$ \| $\begin{eqnarray} = 0 \end{eqnarray}$ . Da die Null die einzige Zahl ist, dessen Betrag gleich null ist, ist nun $\begin{eqnarray} c - c' = 0 \end{eqnarray}$ , woraus folgt, dass $\begin{eqnarray} c = c' \end{eqnarray}$ !!!! Ich hoffe, das stimmt. In any case: Vielen Dank!
04.10.2019, 22:22	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständigkeitsaxiom Das ist übrigens eine Überlegung, die man immer wieder anwenden kann.

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