Reihe auflösen

05.10.2019, 01:36

Mathworlds

Reihe auflösen

Meine Frage:
Hallo,

ich will zeigen, dass:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{N} \frac{k}{(k+1)!} = 1 - \frac{1}{(N+1)!} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Dazu habe ich den Term umgeschrieben:
$\begin{eqnarray*} 1-\frac{1}{(N+1)!} = \frac{(N+1)!-1}{(N+1)!} = \frac{1}{(N+1)!} ((N+1)!-1) \end{eqnarray*}$

und wollte dementsprechend die Reihe in der Form ausklammern

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{N} \frac{k}{(k+1)!} = \frac{1}{2!} + \frac{2}{3!} +... \frac{N-1}{N!} + \frac{N}{(N+1)!} <br /> = \frac{1}{(N+1)!} (\frac{(N+1)!}{2!} + \frac{2(N+1)!}{3!} +...N) \end{eqnarray*}$

Ich komme aber leider nicht weiter..
Wäre sehr dankbar, wenn mir jemand helfen kann.

LG

05.10.2019, 02:02

klauss

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RE: Reihe auflösen
Durch Indexverschiebung
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^{N+1} \frac{k-1}{k!} \end{eqnarray*}$
kannst Du die Summe aufteilen. Wenn Du dann nochmal die ersten paar Summanden hinschreibst, sollte auffallen, worauf es hinausläuft.

Alternativ wäre Induktion ein Beweisweg.

Edit:
Obere Summengrenze angepaßt (war kurzfristig in unendlichen Reihen verhaftet)

05.10.2019, 02:25

Mathworlds

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RE: Reihe auflösen
Hm?

05.10.2019, 08:02

HAL 9000

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Die Indexverschiebung macht wohl deutlicher, was zu tun ist - nötig ist sie aber nicht unbedingt: Es geht um

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^N \frac{k}{(k+1)!} = \sum_{k=1}^N \frac{(k+1)-1}{(k+1)!} = \sum_{k=1}^N \left(\frac{(k+1)}{(k+1)!} - \frac{1}{(k+1)!}\right) \end{eqnarray*}$

Keine Idee, wie man mit den ersten Summanden in der Klammer vereinfachen kann?

Zitat:

Original von klauss
(war kurzfristig in unendlichen Reihen verhaftet)

Kein Wunder bei dem Threadtitel. Der sollte besser lauten "Summenformel beweisen" o.ä.

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